Закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Эта формула выражает закон сохранения энергии для электрической цепи Закон сохранения энергии для замкнутой электрической цепи

Являются одной из форм закона сохранения энергии и относятся к фундаментальным законам природы.

Первый закон Кирхгофа является следствием принципа непрерывности электрического тока, в соответствии с которым суммарный поток зарядов через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. количество зарядов выходящих через эту поверхность должно быть равно количеству входящих зарядов. Основание этого принципа очевидно, т.к. при его нарушении электрические заряды внутри поверхности должны были бы либо исчезать, либо возникать без видимых причин.

Если заряды перемещаются внутри проводников, то они образуют в них электрический ток. Величина электрического тока может измениться только в узле цепи, т.к. связи считаются идеальными проводниками. Поэтому, если окружить узел произвольной поверхностью S (рис. 1), то потоки зарядов через эту поверхность будут тождественны токам в проводниках образующих узел и суммарный ток в узле должен быть равным нулю.

Для математической записи этого закона нужно принять систему обозначений направлений токов по отношению к рассматриваемому узлу. Можно считать токи направленные к узлу положительными, а от узла – отрицательными. Тогда уравнение Кирхгофа для узла рис. 1 будет иметь вид или .

Обобщая сказанное на произвольное число ветвей сходящихся в узле, можно сформулировать первый закон Кирхгофа следующим образом:

Очевидно, что обе формулировки равноценны и выбор формы записи уравнений может быть произвольным.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа направления токов в ветвях электрической цепи выбирают обычно произвольно . При этом необязательно даже стремиться, чтобы во всех узлах цепи присутствовали токи разных направлений. Может получиться так, что в каком-либо узле все токи сходящихся в нем ветвей будут направлены к узлу или от узла, нарушая тем самым принцип непрерывности. В этом случае в процессе определения токов один или несколько из них окажутся отрицательными, что будет свидетельствовать о протекании этих токов в направлении противоположном изначально принятому.

Второй закон Кирхгофа связан с понятием потенциала электрического поля, как работы, совершаемой при перемещении единичного точечного заряда в пространстве. Если такое перемещение совершается по замкнутому контуру , то суммарная работа при возвращении в исходную точку будет равна нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать энергию, нарушая закон ее сохранения.

Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и, перемещаясь вдоль замкнутого контура, мы совершаем работу, которая при возврате в исходную точку будет равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон Кирхгофа в применении к электрической цепи.

Он также как и первый закон формулируется в двух вариантах, связанных с тем, что падение напряжения на источнике ЭДС численно равно электродвижущей силе, но имеет противоположный знак. Поэтому, если какая либо ветвь содержит сопротивление и источник ЭДС, направление которой согласно с направлением тока, то при обходе контура эти два слагаемых падения напряжения будут учитываться с разными знаками. Если же падение напряжения на источнике ЭДС учесть в другой части уравнения, то его знак будет соответствовать знаку напряжения на сопротивлении.

Сформулируем оба варианта второго закона Кирхгофа , т.к. они принципиально равноценны:

Примечание: знак + выбирается перед падением напряжения на резисторе, если направление протекания тока через него и направление обхода контура совпадают; для падений напряжения на источниках ЭДС знак + выбирается, если направление обхода контура и направление действия ЭДС встречны независимо от направления протекания тока;

Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания тока и направление обхода.

Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых.

С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по определенным правилам.

Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей минус число ветвей, содержащих источники тока , т.е. .

Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их число не может быть больше числа узлов минус один.

Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.

Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа:

Примечание: Знак ЭДС выбирают положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления тока; а знак падения напряжения на резисторе принимают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Рассмотрим этот алгоритм на примере рис 2.

Здесь светлыми стрелками обозначены выбранные произвольно выбранные направления токов в ветвях цепи. Ток в ветви с не может быть выбран произвольно, т.к. здесь он определяется действием источника тока .

Число ветвей цепи равно 5, а т.к. одна из них содержит источник тока, то общее число уравнений Кирхгофа равно четырем.

Число узлов цепи равно трем (a, b и c ), поэтому число уравнений по первому закону Кирхгофа равно двум и их можно составлять для любой пары из этих трех узлов. Пусть это будут узлы a и b , тогда

По второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения. Всего для данной электрической цепи можно составить шесть контуров . Из этого числа нужно исключить контуры, замыкающиеся по ветви с источником тока. Тогда останутся только три возможных контура (рис. 2). Выбирая любую пару из трех, мы можем обеспечить условие, чтобы все ветви, кроме ветви с источником тока попали по крайней мере в один из контуров. Остановимся на первом и втором контурах и зададим произвольно направление их обхода как показано на рисунке стрелками. Тогда

Несмотря на то, что при выборе контуров и составлении уравнений все ветви с источниками тока должны быть исключены, второй закон Кирхгофа соблюдается и для них. При необходимости определения падения напряжения на источнике тока или на других элементах ветви с источником тока это можно сделать после решения системы уравнений. Например, на рис. 2 можно создать замкнутый контур из элементов , и , и для него будет справедливо уравнение

Во всех явлениях, происходящих в природе, энергия не возникает и не исчезает. Она только превращается из одного вида в другой, при этом ее значение сохраняется.

Закон сохранения энергии - фундаментальный закон природы, заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

Закон сохранения энергии

В электродинамике закон сохранения энергии исторически формулируется в виде теоремы Пойтинга.

Изменение электромагнитной энергии, заключенной в неком объеме, за некий интервал времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую данный объем, и количеству тепловой энергии, выделившейся в данном объеме, взятой с обратным знаком.

$ \frac{d}{dt}\int_{V}\omega_{em}dV=-\oint_{\partial V}\vec{S}d\vec{\sigma}-\int_V \vec{j}\cdot \vec{E}dV $

Электромагнитное поле обладает энергией, которая распределяется в пространстве, занятом полем. При изменении характеристик поля меняется и распределение энергии. Она перетекает из одной области пространства в другую, переходя, возможно, в другие формы. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля является следствием полевых уравнений.

Внутри некоторой замкнутой поверхности S, ограничивающей объем пространства V , занятого полем, содержится энергия W — энергия электромагнитного поля:

W = Σ(εε 0 E i 2 / 2 + μμ 0 H i 2 / 2) ΔV i .

Если в этом объеме имеются токи, то электрическое поле производит над движущимися зарядами работу, за единицу времени равную

N = Σ i j̅ i ×E̅ i . ΔV i .

Это величина энергии поля, которая переходит в другие формы. Из уравнений Максвелла следует, что

ΔW + NΔt = -Δt ∮ S S̅ × n̅ . dA,

где ΔW — изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме за время Δt, а вектор S̅ = E̅ × H̅ называется вектором Пойнтинга .

Это закон сохранения энергии в электродинамике .

Через малую площадку величиной ΔA с единичным вектором нормали n̅ за единицу времени в направлении вектора n̅ протекает энергия S̅ × n̅ . ΔA, где S̅ — значение вектора Пойнтинга в пределах площадки. Сумма этих величин по всем элементам замкнутой поверхности (обозначена знаком интеграла), стоящая в правой части равенства , представляет собой энергию, вытекающую из объема, ограниченного поверхностью, за единицу времени (если эта величина отрицательна, то энергия втекает в объем). Вектор Пойнтинга определяет поток энергии электромагнитного поля через площадку, он отличен от нуля всюду, где векторное произведение векторов напряженности электрического и магнитного полей отлично от нуля.

Можно выделить три главных направления практического применения электричества: передача и преобразование информации (радио, телевидение, компьютеры), передача импульса и момента импульса (электродвигатели), преобразование и передача энергии (электрогенераторы и линии электропередачи). И импульс, и энергия переносятся полем через пустое пространство, наличие среды приводит лишь к потерям. Энергия не передается по проводам! Провода с током нужны для формирования электрического и магнитного полей такой конфигурации, чтобы поток энергии, определяемый векторами Пойнтинга во всех точках пространства, был направлен от источника энергии к потребителю. Энергия может передаваться и без проводов, тогда ее переносят электромагнитные волны. (Внутренняя энергия Солнца убывает, уносится электромагнитными волнами, в основном светом. Благодаря части этой энергии поддерживается жизнь на Земле.)

Закон сохранения энергии

В механике закон сохранения энергии утверждает, что в замкнутой системе частиц, полная энергия, которая является суммой кинетической и потенциальной энергии и не зависит от времени, то есть является интегралом движения. Закон сохранения энергии справедлив только для замкнутых систем, то есть при отсутствии внешних полей или взаимодействий.

Силы взаимодействия между телами, для которых выполняется закон сохранения механической энергии называются консервативными силами. Закон сохранения механической энергии не выполняется для сил трения, поскольку при наличии сил трения происходит преобразование механической энергии в тепловую.

Математическая формулировка

Эволюция механической системы материальных точек с массами $m_i$ по второму закону Ньютона удовлетворяет системе уравнений

\[ m_i\dot{\mathbf{v}_i} = \mathbf{F}_i \]

где
$\mathbf{v}_i $ — скорости материальных точек, а $\mathbf{F}_i $ — силы, действующие на эти точки.

Если подать силы, как сумму потенциальных сил $\mathbf{F}_i^p $ и непотенциальных сил $\mathbf{F}_i^d $ , а потенциальные силы записать в виде

\[ \mathbf{F}_i^p = - \nabla_i U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) \]

то, домножив все уравнения на $\mathbf{v}_i $ можно получить

\[ \frac{d}{dt} \sum_i \frac{mv_i^2}{2} = - \sum_i \frac{d\mathbf{r}_i}{dt}\cdot \nabla_i U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) + \sum_i \frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \cdot \mathbf{F}_i^d \]

Первая сумма в правой части уравнения является ни чем иным, как производной по времени от сложной функции, а следовательно, если ввести обозначения

\[ E = \sum_i \frac{mv_i^2}{2} + U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots \mathbf{r}_N) \]

и назвать эту величину механической энергией , то, интегрируя уравнения с момента времени t=0 до момента времени t, можно получить

\[ E(t) - E(0) = \int_L \mathbf{F}_i^d \cdot d\mathbf{r}_i \]

где интегрирование проводится вдоль траекторий движения материальных точек.

Таким образом, изменение механической энергии системы материальных точек со временем равно работе непотенциальных сил.

Закон сохранения энергии в механике выполняется только для систем, в которых все силы потенциальные.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Закон сохранения энергии является общим законом природы, следовательно, он применим и к явлениям, происходящим в электричестве. При рассмотрении процессов превращения энергии в электрическом поле рассматривают два случая:

Проводники присоединены к источникам ЭДС, при этом постоянными являются потенциалы проводников.
Проводники являются изолированными, что означает: заряды проводников неизменны.

Мы будем рассматривать первый случай.

Допустим, что у нас имеется система, состоящая из проводников и диэлектриков. Эти тела совершают малые и очень медленные перемещения. Температура тел поддерживается постоянной ($T=const$), для этого тепло или отводят (если оно выделяется) или подводят (при поглощении тепла). Диэлектрики у нас являются изотропными и мало сжимаемыми (плотность постоянна ($\rho =const$)). При заданных условиях внутренняя энергия тел, которая не связана с электрическим полем, остается неизменной. Помимо этого, диэлектрическая проницаемость ($\varepsilon (\rho ,\ T)$), зависящая от плотности вещества и его температуры, может считаться постоянной.

На любое тело, помещенное в электрическое поле, действуют силы. Иногда такие силы называют пондемоторными силами поля. При бесконечно малом перемещении тел пондемоторные силы выполняют бесконечно малую работу, которую обозначим $\delta A$.

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока содержащих ЭДС

Электрическое поле имеет определённую энергию. При перемещении тел электрическое поле между ними изменяется, значит, изменяется его энергия. Увеличение энергии поля при малом смещении тел обозначим как $dW$.

Если в поле движутся проводники, то изменяется их взаимная емкость. Для сохранения без изменения потенциалов проводников на них следует добавлять (или убирать с них) заряды. В таком случае каждый источник тока совершает работу, равную:

\[\varepsilon dq=\varepsilon Idt\ \left(1\right),\]

где $\varepsilon$ - ЭДС источника; $I$ - сила тока; $dt$ - время перемещения. В исследуемой системе тел возникают электрические токи, соответственно во всех частях системы будет выделяться тепло ($\delta Q$), которое по закону Джоуля - Ленца равно:

\[\delta Q=RI^2dt\ \left(2\right).\]

Следуя закону сохранения энергии, работа всех источников тока равна сумме механической работы сил поля, изменению энергии поля и количества теплоты Джоуля - Ленца:

\[\sum{\varepsilon Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(3\right).}}\]

При отсутствии движения проводников и диэлектриков ($\delta A=0;;\ dW$=0) вся работа источников ЭДС переходит в тепло:

\[\sum{\varepsilon Idt=\sum{RI^2dt\ \left(4\right).}}\]

Используя закон сохранения энергии, иногда можно рассчитать механические силы, действующие в электрическом поле проще, чем исследуя, как воздействует поле на отдельные части тела. При этом поступают следующим образом. Допустим, нам следует вычислить величину силы $\overline{F}$, которая действует на тело, находящееся в электрическом поле. Допускают, что рассматриваемое тело совершает малое перемещение $d\overline{r}$. В таком случае, работа силы $\overline{F}$ равна:

\[\delta A=\overline{F}d\overline{r}=F_rdr\ \left(5\right).\]

Далее находят все изменения энергии, которые вызваны перемещением тела. Затем из закона сохранения энергии получают проекцию силы${\ \ F}_r$ на направление перемещения ($d\overline{r}$). Если выбрать перемещения параллельные осям системы координат, то можно найти компоненты силы вдоль этих осей, следовательно, вычислить неизвестную силу по величине и направлению.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Плоский конденсатор частично погружен в жидкий диэлектрик (рис.1). Когда конденсатор заряжается, на жидкость в областях неоднородного поля действуют силы, при этом жидкость втягивается в конденсатор. Найдите силу ($f$) воздействия электрического поля на каждую единицу горизонтальной поверхности жидкости. Считайте, что конденсатор соединен с источником напряжения, напряжение $U$ и напряженность поля внутри конденсатора постоянны.

Решение. При увеличении столба жидкости между пластинами конденсатора на величину $dh$ работа силы $f$ равна:

где $S$ - горизонтальное сечение конденсатора. Изменение энергии электрического поля плоского конденсатора определим как:

Обозначим $b$ - ширину пластины конденсатора, тогда заряд, который дополнительно перейдет от источника, равен:

При этом работа источника тока:

\[\varepsilon dq=Udq=U\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)bdh\left(1.4\right),\]

\[\varepsilon =U\ \left(1.5\right).\]

Учитывая, что $E=\frac{U}{d}$Тогда формула (1.4) перепишется в виде:

\[\varepsilon dq=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh\left(1.6\right).\]

Применяя закон сохранения энергии в цепи постоянного тока, если она имеет источник ЭДС:

\[\sum{\varepsilon Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(1.7\right)}}\]

для рассматриваемого случая запишем:

\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh=Sfdh+\left(\frac{ее_0E^2}{2}-\frac{е_0E^2}{2}\right)Sdh\ \left(1.8\right).\]

Из полученной формулы (1.8) найдем $f$:

\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)=f+\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\right)\to f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}.\]

Ответ. $f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}$

Пример 2

Задание. В первом примере мы считали сопротивления проводов бесконечно малыми. Как изменилась бы ситуация, если сопротивление считать конечной величиной, равной R?

Решение. Если предполагать, что сопротивление проводов не мало, то при объединении в законе сохранения (1.7) слагаемых: $\varepsilon Idt\ $ и $RI^2dt$, мы получим, что:

\[\varepsilon Idt=RI^2dt=\left(\varepsilon -IR\right)Idt=UIdt.\]

1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В зависимости от того, для какого тока предназначается электрическая цепь, ее соответственно называют: «Электрическая цепь постоянного тока», «Электрическая цепь изменяющегося тока», «Электрическая цепь синусоидального тока», «Электрическая цепь не синусоидального тока».

Аналогично именуют и элементы цепей - машины постоянного тока, машины переменного тока, источники электрической энергии (ИЭЭ) постоянного тока, ИЭЭ переменного тока.

Элементы цепей и составленные из них цепи подразделяют и по виду вольт-амперной характеристики (ВАХ). При этом имеется ввиду зависимость их напряжения от тока U = f (I)

Элементы цепей, ВАХ которых линейны (рис.3, а), называют линейными элементами, и, соответственно, электрические цепи называют линейными.

Электрическую цепь, содержащую хотя бы один элемент с нелинейной ВАХ (рис.3, б), называют нелинейной.

Электрические цепи постоянного и переменного тока различают также по способу соединения их элементов - на неразветвленные и разветвленные.

Наконец, электрические цепи делят по числу источников электрической энергии - с одним или с несколькими ИЭЭ.

Различают активные и пассивные цепи, участки и элементы цепей.

Активными называют электрические цепи, содержащие источники электрической энергии, пассивными - электрические цепи, не содержащие источников электрической энергии.

Для работы электрической цепи необходимо наличие активных элементов, т. е. источников энергии.

Простейшими пассивными элементами схемы электрической цепи являются сопротивление, индуктивность и емкость. С определенной степенью приближения они замещают реальные элементы цепи - резистор, индуктивную катушку и конденсатор соответственно.

В реальной цепи электрическим сопротивлением обладает не только резистор или реостат как устройства, предназначенные для использования их электрических сопротивлений, но и любой проводник, катушка, конденсатор, обмотка любого электромагнитного элемента и т. д. Но общим свойством всех устройств, обладающих электрическим сопротивлением, является необратимое преобразование электрической энергии в тепловую. Действительно, из курса физики известно, что при токе i в резисторе, обладающем сопротивлением r, за время dt в соответствии с законом Джоуля-Ленца выделяется энергия

dw = ri 2 dt,

или можно сказать, что в этом резисторе потребляется мощность

p = dw/dt = ri 2 = ui,

где u - напряжение на зажимах резистора.

Тепловая энергия, выделяемая в сопротивлении, полезно используется или рассеивается в пространстве: Но поскольку преобразование электрической энергии в тепловую в пассивном элементе носит необратимый характер, то в схеме замещения во всех случаях, когда необходимо учесть необратимое преобразование энергии, включается сопротивление. В реальном устройстве, например в электромагните, электрическая энергия может быть преобразована в механическую (притяжение якоря), но в схеме замещения это устройство заменяется сопротивлением, в котором выделяется эквивалентное количество тепловой энергии. И при анализе схемы нам уже безразлично, что в действительности является потребителем энергии: электромагнит или электроплитка.

Величина, равная отношению постоянного напряжения на участке пассивной электрической цепи к постоянному току в нем при отсутствии на участке э. д. с., называется электрическим сопротивлением постоянному току . Оно отличается от сопротивления переменному току, определяемого делением активной мощности пассивной электрической цепи на квадрат действующего тока. Дело в том, что при переменном токе из-за поверхностного эффекта, сущность которого состоит в вытеснении переменного тока из центральных частей к периферии сечения проводника, сопротивление проводника возрастает и тем больше, чем больше частота переменного тока, диаметр проводника и электрическая и магнитная проводимости его материала. Иначе говоря, в общем случае проводник всегда оказывает большее сопротивление переменному току, чем постоянному. В цепях переменного тока сопротивление называется активным. Цепи, характеризующиеся только электрическими сопротивлениями их элементов, называются резистивными .

Индуктивность L , измеряемая в генри (Г), характеризует свойство участка цепи или катушки накапливать энергию магнитного поля. В реальной цепи индуктивностью обладают не только индуктивные катушки, как элементы цепи, предназначенные для использования их индуктивности, но и провода, и выводы конденсаторов, и реостаты. Однако в целях упрощения во многих случаях полагают, что вся энергия магнитного поля сосредоточивается только в катушках.

При возрастании тока в катушке запасается энергия магнитного поля, которая может быть определена как w м = L i 2 / 2 .

Емкость С, измеряемая в фарадах (Ф), характеризует способность участка цепи или конденсатора накапливать энергию электрического пол я . В реальной цепи электрическая емкость существует не только в конденсаторах, как элементах, предназначенных специально для использования их емкости, но и между проводниками, между витками катушек (межвитковая емкость), между проводом и землей или каркасом электротехнического устройства. Однако в схемах замещения принято, что емкостью обладают только конденсаторы.

Энергия электрического поля, запасаемая в конденсаторе при возрастании напряжения равна .

Таким образом, параметры электрической цепи характеризуют свойства элементов поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать в другие виды энергии (необратимые процессы), а также создавать свои собственные электрические или магнитные поля, в которых энергия способна накапливаться и при определенных условиях возвращаться в электрическую цепь. Элементы электрической цепи постоянного тока характеризуются только одним параметром - сопротивлением. Сопротивление определяет свойство элемента поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать ее в другие виды энергии.

1.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЗАКОН ОМА

При наличии электрического тока в проводниках движущиеся свободные электроны, сталкиваются с ионами кристаллической решетки, испытывают противодействие своему движению. Это противодействие количественно оценивается величиной сопротивления.

Рис. 4

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 4), на которой слева показан ИЭЭ (выделен штриховыми линиями) с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением r , а справа приведена внешняя цепь - потребитель электрической энергии R . Для выяснения количественной характеристики этого сопротивления воспользуемся законом Ома для участка цепи.

Под действием э. д. с. в цепи (рис.4) возникает ток, величина которого может быть определена по формуле:

I = U/R (1.6)

Это выражение является законом Ома для участка цепи: сила тока на участке цепи пря пропорциональна напряжению, приложенному к этому участку.

Из полученного выражения найдем R = U / I и U = I R.

Необходимо отметить, что приведённые выражения справедливы при условии, что R - величина постоянная т.е. для линейной цепи, характеризуемой зависимостью I = (l / R)U (ток линейно зависит от напряжения и угол φ наклона прямой на рис.3, а равен φ = arctg(1/R)). Отсюда следует важный вывод: закон Ома справедлив для линейных цепей, когда R = const.

За единицу сопротивления принято сопротивление такого участка цепи, в котором устанавливается ток в один ампер при напряжении в один вольт:

1 Ом = 1 В/1А.

Более крупными единицами измерения сопротивления являются килоом (кОм): 1 кОм = Ом и мегом (мОм): 1 мОм = Ом.

В общем случае R = ρ l/S , где ρ - удельное сопротивление проводника с площадью поперечного сечения S и длиною l.

Однако в реальных цепях напряжение U определяется не только величиной э.д.с., но и зависит от величины тока и сопротивления r ИЭЭ, так как любой источник энергии имеет внутреннее сопротивление.

Рассмотрим теперь полную замкнутую цепь (рис. 4). Согласно закону Ома получим для внешнего участка цепи U = IR и для внутреннего U 0 = I r. А так как э.д.с. равна сумме напряжений на отдельных участках цепи, то

Е = U + U 0 = IR + Ir

. (1.7)

Выражение (1. 7) является законом Ома для всей цепи: сила тока в цепи прямо пропорциональна э.д.с. источника.

Из выражения E = U + следует, что U = E - Ir , т.е. при наличии тока в цепи напряжение на ее зажимах меньше э.д.с. источника на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении r источника.

Измерить напряжения (вольтметром) на различных участках цепи можно только при замкнутой цепи. Э.д.с. же измеряют между зажимами источника при разомкнутой цепи, т.е. при холостом ходе, когда I ток в цепи равен нулю в этом случае E = U.

1.6. СПОСОБЫ СОЕДИНЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ

При расчете цепей приходится сталкиваться с различными схемами соединений потребителей. В случае цепи с одним источником часто получается смешанное соединение, составляющее собой комбинацию параллельного и последовательного соединений, известных из курса физики. Задача расчета такой цепи состоит в том, чтобы при известных сопротивлениях потребителей определить токи, протекающие через них, напряжения, мощности на них и мощность всей цепи (всех потребителей).

Соединение, при котором по всем участкам проходит один и тот же ток, называется последовательным соединением участков цепи. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким участкам, называют контуром электрической цепи. Например, цепь, показанная на рис. 4 является одноконтурной.

Рассмотрим различные способы соединения сопротивлений более подробно.

1.6.1 Последовательное соединение сопротивлений

Если два или несколько сопротивлений соединены, как показано на рис. 5, одно за другим без разветвлений и по ним проходит один и тот же ток, то такое их соединение называют последовательным.

Рис. 5

По закону Ома можно определить напряжения на отдельных участках цепи (сопротивлениях)

U 1 = IR 1 ; U 2 = IR 2 ; U 3 = IR 3 .

Так как ток во всех участках имеет одинаковое значение, то напряжения на участках пропорциональны их сопротивлениям, т.е.

U 1 /U 2 = R 1 / R 2 ; U 2 /U 3 = R 2 / R 3 .

Мощности отдельных участков соответственно равны

P 1 = U 1 I ; P 2 = U 2 I ; P 3 = U 3 I .

А мощность всей цепи, равная сумме мощностей отдельных участков, определяется как

P = P 1 + P 2 + P 3 = U 1 I + U 2 I + U 3 I = (U 1 + U 2 + U 3)I = UI ,

откуда следует, что напряжение на зажимах цепи U равно сумме напряжений на отдельных участках

U =U 1 + U 2 + U 3 .

Разделив правую и левую части последнего уравнения на ток, получим

R = R 1 + R 2 +R 3 .

Здесь R = U/I - сопротивление всей цепи, или, как его часто называют, эквивалентное сопротивление цепи, т.е. такое равноценное сопротивление, заменяя которым все сопротивления цепи (R 1 , R 2 , R 3) при неизменном напряжении на ее зажимах, получим то же самое значение тока.

1.6.2. Параллельное соединение сопротивлений

Рис. 6

Параллельным соединением сопротивлений называется соединение (рис. 6), при котором один зажим каждого из сопротивлений присоединяется к одной точке электрической цепи, а другой зажим каждого из тех же сопротивлений присоединяется к другой точке электрической цепи. Таким образом, между двумя точкам электрической цепи будет включено несколько сопротивлений. образующих параллельные ветви.

Так как при этом напряжение на всех ветвях будет одним и тем же, то токи в ветвях могут быть разными, в зависимости от величин отдельных сопротивлений. Эти токи можно определить по закону Ома:

Напряжения между точками разветвления (А и Б рис.6)

Поэтому как лампы накаливания, так и двигатели, предназначенные для работы при определенном (номинальном) напряжении, всегда включаются параллельно.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Пусть имеется некоторый участок цепи (рис. 1.7), крайние точки которого обозначены буквами а и b. Пусть ток I течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, потенциал точки а(φ a) выше потенциала точки b(φ b) на значение, равное произведению тока I на сопротивление R : φ a =φ b +IR.

Рис. 1.7

В соответствии с определением напряжение между точками а и b U ab = φ a - φ b .

Следовательно, U ab =IR , т.е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на значение этого сопротивления.

В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления принято называть либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения.

Положительное направление падения напряжения на каком-либо участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета тока, протекающего по данному сопротивлению.

Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащей кроме сопротивления R , ЭДС Е (рис. 1.8, а , б). Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками а и с для этих участков. По определению U a с = φ a - φ с . Выразим потенциал точки а через потенциал точки с . При перемещении от точки с к точке b встречно направлению ЭДС Е (см. рис. 1.8, а ) потенциал точки b оказывается меньше, чем потенциал точки с , на значение ЭДС Е: φ b = φ c -E . При перемещении от точки с к точке b согласно направлению ЭДС Е (рис.1.8, б ) потенциал точки b больше, чем потенциал точки с ,на значение ЭДС: φ b = φ c +E .

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R :φ а = φ b +IR .

а) б )

Рис. 1.8

Таким образом, для рис. 1.8, а :

(1.1)

для рис. 1.8, б:

(1.2)

Положительное направление напряжения U a с показывают стрелкой от а к с . Согласно определению, U са = φ с - φ а, поэтому U ас =-U са, т.е. изменение чередования индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть как положительной величиной, так и отрицательной.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС Е, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис.1.7

Или . (1.3)

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС Е , позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов (φ a - φ с) на концах этого участка цепи и имеющейся на участке ЭДС Е.

Так, из уравнения (1.1) для схемы рис.1.8, а следует

Из уравнения (1.2) для схемы рис.1.8, б следует:

В общем случае

. (1.4)

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к какому-либо узлу схемы, равна нулю;

2) сумма подтекающих клюбому узлу токов равна сумме утекающихот этого узла токов.

Рис. 1.9

Применительно к рис.1.9, если подтекающие токи к узлу считать положительными, а вытекающие - отрицательными, то согласно первой формулировке I 1 -I 2 -I 3 -I 4 = 0; согласно второй I 1 =I 2 +I 3 +I 4 . Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение электрических зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулироватьдвояко:

1) алгебраическая сумма падений напряженияв любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в данный контур:

, (1.5)

где m - число резистивных элементов; п – число ЭДС в контуре (в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

2) алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура

где т - число элементов контура.

Второй закон Кирхгофа является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура в безвихревом поле.

Законы Кирхгофа справедливы длялинейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

При протекании токов по сопротивлениям в них выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях цепи, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником питания. Если направление тока I , протекающего через источник ЭДС E , совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени, равную EI , и произведение ЕI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком. Если же направление тока I встречно ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение ЕI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком. Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид

. (1.7)

В случае питания электрической цепи не только источниками ЭДС, но и источниками тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Предположим, что к узлу а схемы подтекает ток J от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна U а b J. Общий вид уравнения энергетического баланса:

1.4. Эквивалентные преобразования пассивных участков

электрической цепи

При наличии в цепи только одного источника энергии в большинстве случаев цепь можно рассматривать как смешанное соединение источника и приемников энергии, т.е. нескольких резисторов, соединенных между собой параллельно, включенных последовательно с другими сопротивлениями (рис.1.10). Расчет смешанного соединения целесообразно начинать с определения эквивалентной проводимости параллельного соединения, а на основании этой проводимости легко найти обратную величину - эквивалентное сопротивление разветвления R . Для схемы, приведенной на рис. 1.10, а :

После замены разветвления эквивалентным сопротивлением (рис. 1.10, б ) цепь можно рассчитывать как последовательное соединение; ток в неразветвленной части цепи:

а) б )

Рис. 1.10

В ряде случаев расчет сложной схемы, состоящей из линейных сопротивлений, существенно упрощается, если в этой схеме заменить группу сопротивлений другой эквивалентной группой, в которой сопротивления соединены иначе, чем в замещаемой группе. Взаимная эквивалентность двух групп сопротивлений выразится в том, что после замены электрические условия во всей остальной схеме не изменятся.

Рассмотрим преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющих вид трехлучевой звезды, называют звездой (рис. 1.11), а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника, - треугольником (рис.1.12). Обозначим токи, подтекающие к узлам 1 , 2 , 3 , через I 1 , I 2 и I 3 . Выведем формулы преобразования. С этой целью выразим токи I 1 , I 2 и I 3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.