Внеклассный урок - числовая окружность. Числовая окружность Четверть окружности определение

>> Числовая окружность

Изучая курс алгебры 7-9-го классов, мы до сих пор имели дело с алгебраическими функциями, т.е. функциями, заданными аналитически выражениями, в записи которых использовались алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление , возведение в степень, извлечение квадратного корня). Но математические модели реальных ситуаций часто бывают связаны с функциями другого типа, не алгебраическими. С первыми представителями класса неалгебраических функций - тригонометрическими функциями - мы познакомимся в этой главе. Более детально изучать тригонометрические функции и другие виды неалгебраических функций (показательные и логарифмические) вам предстоит в старших классах.
Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались, зато хорошо знакомы с числовой прямой. Напомним, что числовая прямая - это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление. Любое действительное число мы можем сопоставить с точкой на прямой и обратно.

Как по числу х найти на прямой соответствующую точку М? Числу 0 соответствует начальная точка О. Если х > 0, то, двигаясь по прямой из точки 0 в положительном направлении, нужно пройти п^ть длиной х; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Если х < 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

А как мы решали обратную задачу, т.е. как искали координату х заданной точки М на числовой прямой? Находили длину отрезка ОМ и брали ее со знаком «+» или * - » в зависимости от того, с какой стороны от точки О расположена на прямой точка М.

Но в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности . Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью (на самом деле это, конечно, не окружность, но вспомните, как обычно говорят спортивные комментаторы: «бегун пробежал круг», «до финиша осталось пробежать полкруга» и т.д.), ее длина равна 400 м. Отмечен старт - точка А (рис. 97). Бегун из точки А движется по окружности против часовой стрелки. Где он будет через 200 м? через 400 м? через 800 м? через 1500 м? А где провести финишную черту, если он бежит марафонскую дистанцию 42 км 195 м?

Через 200 м он будет находиться в точке С, диаметрально противоположной точке А (200 м - это длина половины беговой дорожки, т.е. длина половины окружности). Пробежав 400 м (т.е. «один круг», как говорят спортсмены), он вернется в точку А. Пробежав 800 м (т.е. «два круга»), он вновь окажется в точке А. А что такое 1500 м? Это «три круга» (1200 м) плюс еще 300 м, т.е. 3

Беговой дорожки - финиш этой дистанции будет в точке 2) (рис. 97).

Нам осталось разобраться с марафоном. Пробежав 105 кругов, спортсмен преодолеет путь 105-400 = 42 000 м, т.е. 42 км. До финиша остается 195 м, это на 5 м меньше половины длины окружности. Значит, финиш марафонской дистанции будет в точке М, расположенной около точки С (рис. 97).

Замечание. Вы, разумеется, понимаете условность последнего примера. Марафонскую дистанцию по стадиону никто не бегает, максимум составляет 10 000 м, т.е. 25 кругов.

По беговой дорожке стадиона можно пробежать или пройти путь любой длины. Значит, любому положительному числу соответствует какая-то точка - «финиш дистанции». Более того, можно и любому отрицательному числу поставить в соответствие точку окружности: просто надо заставить спортсмена бежать в противоположном направлении, т.е. стартовать из точки А не в направлении против,ав направлении по часовой стрелке. Тогда беговую дорожку стадиона можно рассматривать как числовую окружность.

В принципе, любую окружность можно рассматривать как числовую, но в математике условились использовать для этой цели единичную окружность - окружность с радиусом 1. Это будет наша «беговая дорожка». Длина Ь окружности с радиусом К вычисляется по формуле Длина половины окружности равна n, а длина четверти окружности - АВ, ВС, СБ, DА на рис. 98 - равна Условимся называть дугу АВ первой четвертью единичной окружности, дугу ВС - второй четвертью, дугу СB - третьей четвертью, дугу DА - четвертой четвертью (рис. 98). При этом обычно речь идет об Открытой дуге, т.е. о дуге без ее концов (что-то вроде интервала на числовой прямой).

Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра (рис. 98). Поставим в соответствие каждому действительному числу I точку окружности по следующему правилу:

1) если x > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(x);

2) если x < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.
Пример 1. Найти на числовой окружности
Так как первые шесть из заданных семи чисел положительны, то для отыскания соответствующих им точек на окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Учтем при этом, что

Числу 2 соответствует точка А, так как, пройдя по окружности путь длиной 2, т.е. ровно одну окружность, мы снова попадем в начальную точку А Итак, А = А(2).
Что такое Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно пройти целую окружность.

Замечание. Когда мы в 7-8-м классах работали с числовой прямой, то условились, ради краткости, не говорить «точка прямой, соответствующая числу х», а говорить «точка х». Точно такой же договоренности будем придерживаться и при работе с числовой окружностью: «точка f» - это значит, что речь идет о точке окружности, которая соответствует числу
Пример 2.
Разделив первую четверть АВ на три равные части точками К и Р, получим:

Пример 3. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам
Построения будем делать, пользуясь рис. 99. Отложив дугу АМ (ее длина равна -) от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим точку!, - середину дуги ВС. Итак,

Замечание. Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что дуга АК и д л ина дуги АК - разные вещи (первое понятие - геометрическая фигура, а второе понятие - число). Но обозначается и то и другое одинаково: АК. Более того, если точки А и К соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: АК. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).

Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой окружности.

ПЕРВЫЙ МАКЕТ
Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из имеющихся восьми точек записаны их «имена» (рис. 100).

ВТОРОЙ МАКЕТ Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из имеющихся двенадцати точек записаны их «имена» (рис. 101).

Учтите, что на обоих макетах мы могли бы заданным точкам присвоить и другие «имена».
Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг
выражались некоторыми долями числа п? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2п, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа и. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:

Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой АЕ, = 1, и точку Е2, для которой АЕг = 2, и точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4, для которой АЕ4 = 4, и точку Еь, для которой АЕЪ = 5, и точку Е6, для которой АЕ6 = 6. На рис. 102 отмечены (приблизительно) соответствующие точки (причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части).

Пример 4. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.

Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа -.

Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.
Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к - любое целое число (к е 2).

В самом деле, 2п - длина числовой (единичной) окружности, а целое число |й| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (| к | = | -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще | к | полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, :

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом.

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций , – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, 300 градусов, или -45.

Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения … А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

А теперь такой:

И, наконец, такой:

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

И зачем оно нам?

Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип , который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).

Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . позже.

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ , без которого никуда в тригонометрии.

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в .

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать - тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Далее автор напоминает обучающимся, как находится длина окружности. А затем он выводит длину единичной окружности. Эти теоретические данные предлагается применить на практике. Для этого рассматривается пример, где требуется найти на окружности точку, соответствующую определенным значениям чисел. Решение примера сопровождается иллюстрацией в виде рисунка, а также необходимыми математическими записями.

Согласно условию второго примера, необходимо найти точки на числовой окружности. Здесь также все решение сопровождается комментариями, иллюстрациями и математической записью. Это способствует развитию и совершенствованию математической грамотности обучающихся. Аналогично построен и третий пример.

Далее автор отмечает те числа на окружности, которые встречаются чаще других. Здесь же он предлагает сделать два макета числовой окружности. Когда оба макета готовы, рассматривается следующий, четвертый пример, где требуется найти точку на числовой окружности, соответствующую числу 1. После этого примера формулируется утверждение, согласно которому можно найти точку M, соответствующей числу t.

Далее вводится замечание, согласно которому обучающие узнают, что числу «пи» соответствуют все числа, которые попадают в данную точку при проходе ею всю окружность. Эту информацию подкрепляет пятый пример. Его решение содержит логически правильные рассуждения и рисунки, иллюстрирующие ситуацию.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Ранее мы изучали функции, заданные аналитическими выражениями. И эти функции называли алгебраическими. Но в школьном курсе математики изучаются функции и других классов, не алгебраические. Начнем изучение тригонометрических функций.

Для того, чтобы ввести тригонометрические функции нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность. Рассмотрим единичную окружность. Окружность, радиус которой равен масштабному отрезку, без указания конкретных единиц измерения, будем называть единичной. Радиус такой окружности считать равным 1.

Будем пользоваться единичной окружностью, в которой проведены горизонтальный и вертикальный диаметры СА и DВ(цэ а и дэ бэ).(смотри рисунок1).

Дугу АВ будем называть первой четвертью, дугу ВС - второй четвертью, дугу СD - третьей четвертью, а дугу DА - четвертой четвертью.

Рассмотрим числовую окружность. Вообще, любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее для этой цели пользоваться единичной окружностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t (тэ) точку окружности по следующему правилу:

1) Если t>0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

2) Если t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Числу t = 0 поставим в соответствие точку А.

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

Известно, что длина окружности L (эль) вычисляется по формуле L =2πR (эль равно два пи эр), где π≈3,14 , R - радиус окружности. Для единичной окружности R=1см, значит L =2π≈6,28 см (эль равно два пи примерно 6,28).

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: ,.(пи на два, пи, три пи на два, два пи, одиннадцать пи на два, семь пи, минус пять пи на два)

Решение. Первые шесть чисел положительны, поэтому для отыскания соответствующих им точек окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Длина каждой четверти единичной окружности равна. Значит, АВ =, то есть числу соответствует точка В (смотри рис. 1). АС = , то есть числу соответствует точка С. АD = , то есть числу соответствует точка D. А числу соответствует снова точка А, потому что пройдя по окружности путь длиной мы попали в начальную точку А.

Рассмотрим, где будет находится точка такое Так как мы уже знаем, что длинна окружности, то приведем к виду (четыре пи плюс три пи на два). То есть, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать два раза целую окружность (путь длиной 4π) и дополнительно путь длиной, который закончится в точке D.

Что такое? Это 3∙2π + π (три умноженное на два пи плюс пи). Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать три раза целую окружность и дополнительно путь длиной π, который закончится в точке С.

Чтобы найти на числовой окружности точку, соответствующую отрицательному числу, нужно из точки А пройти по окружности в отрицательном направлении (по часовой стрелке) путь длиной, а это соответствует 2π + . Этот путь завершится в точке D.

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки, (пи на шесть, пи на четыре, пи на три).

Решение. Разделив дугу АВ пополам, мы получим точку Е, которая соответствует. А разделив дугу АВ на три равные части точками F и О, получим, что точка F соответствует, а точка T соответствует

(смотри рис 2).

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки, (минус тринадцать пи на четыре, девятнадцать пи на шесть).

Решение. Отложив дугу АЕ (а эм) длиной (пи на четыре) от точки А тринадцать раз в отрицательном направлении, получим точку Н (аш) - середину дуги ВС.

Отложив дугу АF длиной (пи на шесть) от точки А девятнадцать раз в положительном направлении, попадем в точку N (эн), которая принадлежит третьей четверти (дуге СD) и СN равно третьей части дуги СD (сэ дэ).

(смотри рис примера 2).

Чаще всего приходится искать на числовой окружности точки, которые соответствуют числам, (пи на шесть, пи на четыре, пи на три, пи на два), а также те, которые кратны им, то есть, (семь пи на шесть, пять пи на четыре, четыре пи на три, одиннадцать пи на два). Поэтому для того, чтобы быстро ориентироваться целесообразно сделать два макета числовой окружности.

На первом макете каждая из четвертей числовой окружности будет разделена на две равные части и около каждой из полученных точек запишем их «имена»:

На втором макете каждая из четвертей разделена на три равные части и около каждой из полученных двенадцати точек то же запишем их «имена»:

Если двигаться по часовой стрелке, то получим для имеющихся на чертежах точек те же «имена», только со значением минус. Для первого макета:

Аналогично, если двигаться по второму макету по часовой стрелке из точки О.

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам 1 (один).

Решение. Зная, что π≈3,14 (пи приблизительно равно три целые четырнадцать сотых) , ≈ 1,05(пи на три приблизительно равно одна целая пять сотых), ≈ 0,79(пи на четыре приблизительно равно ноль целых семьдесят девять сотых). Значит, < 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Справедливо следующее утверждение: если точка М числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2π k (тэ плюс два пи ка), где ка - любое целое число и k ϵ Z (ка принадлежит зэт).

Используя это утверждение, можно сделать вывод, что точке соответствуют все точки вида t =+ 2πk (тэ равно пи на три плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт), а точке (пять пи на четыре) - точки вида t = + 2πk (тэ равно пять пи на четыре плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт) и так далее.

ПРИМЕР 5.Найти на числовой окружности точку: а) ; б) .

Решение. а) Имеем: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(двадцать пи на три равно двадцать на три пи равно шесть плюс две трети, умноженное на пи равно шесть пи плюс два пи на три равно два пи на три плюс три умноженное на два пи).

Это значит, что числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу (это вторая четверть) (смотри второй макет на рис 4).

б) Имеем: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4).(минус тридцать пять пи на четыре равно минус восемь плюс три четвертые, умноженное на пи равно минус три пи на четыре плюс два пи, умноженное на минус четыре). То есть числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу

На этом уроке мы вспомним определение числовой прямой и дадим новое определение числовой окружности. Также подробно рассмотрим важное свойство числовой окружности и важные точки на окружности. Дадим определение прямой и обратной задачи для числовой окружности и решим несколько примеров подобных задач.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Числовая окружность

Для любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой , либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность .

Прямая становится числовой (координатной) прямой, если отмечено начало координат, выбраны направление и масштаб (рис. 1).

Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.

Например, берем число откладываем на координатной оси, получаем точку Возьмем число откладываем на оси, получаем точку (рис. 2).

И наоборот, если мы взяли любую точку на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).

К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.

Сначала ввели множество натуральных чисел

Затем множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида

Пример - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна (рис. 3).

Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное Нет, не найдется. Докажем этот факт.

Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.

Тогда Возведем обе части в квадрат, Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и Тогда Но тогда и А значит, Тогда получается, что дробь сократимая. Это противоречит условию, значит

Число иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.

Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.

Начало отсчета - точка A . Направление отсчета - против часовой стрелки - положительное, по часовой стрелке - отрицательное. Масштаб - длина окружности (рис. 4).

Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность . Укажем, каким образом каждому числу поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.

Задав число получаем точку на окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на окружности. А наоборот?

Точка соответствует числу . А если взять числа Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку

Например, соответствует точке B (рис. 4).

Возьмем все числа Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.

Если есть фиксированное число то ему соответствует только одна точка окружности

Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел

В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.

Рассмотрим основные точки на окружности.

Задано число Найти, какой точке на окружности оно соответствует.

Разделив дугу пополам, получаем точку (рис. 5).

Обратная задача - дана точка середина дуги Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.

Отметим на числовой окружности все дуги, кратные (рис. 6).

Важны также дуги, кратные

Дано число Нужно найти соответствующую точку.

Обратная задача - дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.

Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.

a) Найти на числовой окружности точку с координатой

Откладываем от точки A это два целых оборота и еще половина, и Получаем точку M - это середина третьей четверти (рис. 8).

Ответ. Точка M - середина третьей четверти.

b) Найти на числовой окружности точку с координатой

Откладываем от точки A полный оборот и еще получаем точку N (рис. 9).

Ответ: Точка N находится в первой четверти.

Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.

На следующем уроке мы рассмотрим числовую окружность в координатной плоскости.

Список литературы по теме "Числовая окружность", "Точка на окружности"

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Числовая окружность и жизнь

В реальной жизни часто встречается движение по окружности. Например, соревнования велосипедистов, которые проезжают определенный круг на время или соревнования гоночных автомобилей, которым надо проехать наибольшее количество кругов за отведенное время.

Бегун бежит по кругу длиной 400 метров. Спортсмен стартует в точке А (рис. 1) и движется против часовой стрелки. Где он будет находится через 200 м, 800 м, 1500 м? А где провести финишную черту, если бегуну необходимо пробежать 4195 м?

Решение:
Через 200 м бегун будет находиться в точке С. Так как он пробежит ровно половину дистанции.

Пробежав 800 м, бегун сделает ровно два круга и окажется в точке А.

1500м - это 3 круга по 400 м (1200 м) и еще 300 м, то есть $\frac{3}{4}$ от беговой дорожки, финиш этой дистанции в точке D.

Где будет находиться наш бегун пробежав 4195 м? 10 кругов – это 4000 м, останется пробежать 195 м, это на 5 м меньше, чем половина дистанции. Значит финиш будет в точки K, расположенной около точки С.

Определение числовой окружности

Общий вид числовой окружности

Диаметры АС и BD делят окружность на четыре четверти:
первая четверть – это дуга AB.
вторая четверть – дуга BC.
третья четверть – дуга CD.
четвертая четверть – дуга DA.

3) Начальная точка числовой окружности – точка А.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Длина числовой окружности

Местонахождение основных точек окружности

Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части. Около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует.

Если точка $М$ числовой окружности соответствует числу $t$ , то она соответствует и числу вида $t+2π *k$, где $k$ – целое число. $М(t) = M(t+2π*k)$.

Длина дуги $АВ =\frac{π}{2}$. Разделив ее на две равные части точкой М, получим две дуги, длиной $\frac{π}{4}$ каждая. Значит, $AM =МВ=\frac{π}{4}$.

Дуга АВ разбита на три равные части точками К и Р. Длина каждой полученной части равна $\frac{1}{3}* \frac{π}{2}$, т. е. $\frac{π}{6}$. Значит, $АК = КР = РВ =\frac{π}{6}$.

Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной - $\frac{π}{6}$. Значит, $АР = 2 *\frac{π}{6} =\frac{π}{3}$.

Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги AM исключением дуги АК. Таким образом, $КМ = AM – АК =\frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}$.

Задача:

Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$2π$, $\frac{7π}{2}$, $\frac{π}{4}$, $-\frac{3π}{2}$.

Числу $2π$ соответствует точка А, т.к. пройдя по окружности путь длиной $2π$, т.е. ровно одну окружность, мы опять попадем в точку А.

Числу $\frac{7π}{2}$ соответствует точка D, т.к. $\frac{7π}{2}=2π+\frac{3π}{2}$, т.е. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти целую окружность и дополнительно путь длиной $\frac{3π}{2}$, который закончится в точке D.

Числу $\frac{π}{4}$ соответствует точка М, т.к. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти путь в половину дуги АВ длиной $\frac{π}{2}$, который закончится в точке M.

Числу $-\frac{3π}{2}$ соответствует точка В, т.к. двигаясь в отрицательном направлении из точки А, нужно пройти путь длиной $\frac{3π}{2}$, который закончится в точке В.

Найти на числовой окружности точки:
а) $21\frac{π}{4}$;
б) $-37\frac{π}{6}$.

а) $\frac{21π}{4} = (4+\frac{5}{4})*π = 4π +\frac{5π}{4} = 2*2π +\frac{5π}{4}$, значит числу $\frac{21π}{4}$ соответствует такое же число, что и числу $\frac{5}{4π}$ – середина третьей четверти.

б) $-\frac{37π}{6}=-(6+\frac{1}{6})*π =-(6π +\frac{π}{6}) = -3*2π - \frac{π }{6}$. Значит, числу $-\frac{37π}{6}$ соответствует такое же число, что и числу $-\frac{1}{6π}$. Тоже самое, что и $\frac{11π}{6}$.

Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) ВА;
б) МK.

а) Дуга ВА – это дуга с началом в точке В и концом в точке А, при движении по окружности против часовой стрелки. Точка В соответственно равна $\frac{π}{2}$, а точка А равна $2π$. Значит, для точек t имеем: $\frac{π}{2} ≤ t ≤ 2π$. Но согласно формуле на слайде 8, числам $\frac{π}{2}$ и $2π$ соответствуют числа вида $\frac{π}{2}+2π*k$ и $2π+2π*k$ соответственно.

$\frac{π}{2} +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, где $к$ – целое число.

б) Дуга МK – это дуга с началом в точке М и концом в точке К. Точка М соответственно равна $-\frac{3π}{4}$, а точка К равна $\frac{π}{4}$.
Значит для точек t имеем:
$\frac{-3π}{4} ≤ t ≤\frac{π}{4}$.
Согласно формуле на слайде 8 числам $-\frac{3π}{4}$ и $\frac{π}{4}$ соответствуют числа вида: $-\frac{3π}{4}+2π*k$ и $\frac{π}{4}+2π*k$ соответственно.
Тогда наше число t принимает значения:
$-\frac{3π}{4}+2π*k ≤ t ≤ \frac{π}{4} +2π*k$, где $к$ – целое число.

Задачи для самостоятельного решения

1) На единичной окружности дуга ВС разделена точкой Т на две равные части, а точками К и Р на три равные части. Чему равна длина дуги: ВТ, ТС, ВК, КР, РС, ВР, КТ?

2) Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$π$, $\frac{11π}{2}$, $\frac{21π}{4}$, $-\frac{7π}{2}$, $\frac{17π}{6}$.

3) Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) АВ;
б) АС;
в) PM, где P – середина дуги АВ, а точка М – середина DA.