Сумма векторов сил. Правила, по которым происходит сложение векторов. Как происходит сложение по правилу треугольника

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Определение 1

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая , которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1).

Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

Определение 3

При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника : от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.

Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Определение 4

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0: ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

• направления 2 -х составляющих сил;
• модуль и направление одной из составляющих сил;
• модули 2 -х составляющих сил.

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.

Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям

Пример 2

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а).

Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .

Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную - F 1 → (рисунок 5 в). В итоге получаем искомую силу F → .

Пример 3

Три силы F 1 → = 1 Н; F 2 → = 2 Н; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β - F 3 cos γ = F x = 4 - 3 3 2 ≈ - 0 , 6 Н.

Точно также для проекций на ось O Y: - F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 - 2 3 2 ≈ - 0 , 2 Н.

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н.

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в):

t g φ = F y F x = 3 - 2 3 4 - 3 3 ≈ 0 , 4 .

Пример 4

Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F = 1 к Н = 1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С. На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С. Отсюда понятно, что

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н.

Ответ: F 1 → = 557 Н; F 2 → = 1155 Н.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

A) окружность.

C) парабола.

D) траектория может быть любой.

E) прямая.

2. Если тела разделены безвоздушным пространством, то теплопередача между ними возможна

A) теплопроводностью и конвекцией.

B) излучением.

C) теплопроводностью.

D) конвекцией и излучением.

E) конвекцией.

3. Электрон и нейтрон обладают электрическими зарядами

A) электрон – отрицательным, нейтрон – положительным.

B) электрон и нейтрон – отрицательным.

C) электрон – положительным, нейтрон – отрицательным.

D) электрон и нейтрон – положительным.

E) электрон – отрицательным, нейтрон – не имеет заряда.

4. Сила тока необходимая для совершения работы, равной 250 Дж лампочкой, рассчитанной на 4В и в течении 3 минут равна

5. Из атомного ядра в результате самопроизвольного превращения вылетело ядро атома гелия, в результате следующего радиоактивного распада

A) гамма-излучения.

B) двухпротонного распада.

C) альфа-распада.

D) протонного распада.

E) бета- распада.

6. Точка небесной сферы, которая обозначается таким же знаком, как созвездие Рака, это – точка

A) парада планет

B) весеннего равноденствия

C) осеннего равноденствия

D) летнего солнцестояния

E) зимнего солнцестояния

7. Движение грузового автомобиля описывается уравнениями x1= - 270 + 12t, а движение пешехода по обочине того же шоссе – уравнением x2= - 1,5t. Время встречи равно

8. Если тело брошено вверх со скоростью 9 м/с, то максимальной высоты оно достигнет через (g = 10 м/с2)

9. Под действием постоянной силы, равной 4 Н, тело массой8 кгбудет двигаться

A) равноускоренно с ускорением 0,5 м/с2

B) равноускоренно с ускорением 2 м/с2

C) равноускоренно с ускорением 32 м/с2

D) равномерно со скоростью 0,5 м/с

E) равномерно со скоростью 2 м/с

10. Мощность тягового электродвигателя троллейбуса равна 86 кВт. Работа которую может совершить двигатель за 2 ч равна

A) 619200 кДж.

C) 14400 кДж.

E) 17200 кДж.

11. Потенциальная энергия упруго деформированного тела при увеличении деформации в 4 раза

A) не изменится.

B) уменьшится в 4 раза.

C) увеличится в 16 раз.

D) увеличится в 4 раза.

E) уменьшится в 16 раз.

12. Шары массой m1 = 5 г и m2 = 25 г движутся навстречу друг другу со скоростью υ1 = 8 м/с и υ2 = 4 м/с. После неупругого удара скорость шара m1 равна (направление оси координат совпадает с направлением движения первого тела)

13. При механических колебаниях

A) постоянна только потенциальная энергия

B) постоянны и потенциальная энергия, и кинетическая энергия

C) постоянна только кинетическая энергия

D) постоянна только полная механическая энергия

E) энергия постоянна в первую половину периода

14. Если олово находится при температуре плавления, то на плавление4 кголова потребуется количество теплоты, равное (Дж/кг)

15. Электрическое поле напряженностью 0,2 Н/Кл действует на заряд 2 Кл с силой

16. Установите правильную последовательность электромагнитных волн по мере возрастания частоты

1) радиоволны, 2) видимый свет, 3) рентгеновские лучи, 4) инфракрасное излучение, 5) ультрафиолетовое излучение

A) 4, 1, 5, 2, 3

B) 5, 4, 1, 2, 3

C) 3, 4, 5, 1, 2

D) 2, 1, 5, 3, 4

E) 1, 4, 2, 5, 3

17. Ученик режет жесть, прикладывая к ручкам ножниц силу 40 Н. Расстояние от оси ножниц до точки приложения силы35 см, а расстояние от оси ножниц до жести2,5 см. Усилие, необходимое для разрезания жести

18. Площадь малого поршня гидравлического пресса 4см2, а площадь большого 0,01 м2. Сила давления на большой поршень больше, чем сила давления на малый поршень в

B) 0,0025 раз

E) 0,04 раза

19. Газ, расширяясь при постоянном давлении 200 Па совершил работу 1000 Дж. Если первоначально газ занимал объём1,5 м, то новый объём газа равен

20. Расстояние от предмета до изображения в 3 раза больше,чем расстояние от предмета до линзы. Это линза...

A) двояковогнутая

B) плоская

C) собирающая

D) рассеивающая

E) плоско-вогнутая

Механическое действие тел друг на друга всегда является их взаимодействием.

Если тело 1 действует на тело 2, то при этом обязательно тело 2 действует на тело 1.

Например ,на ведущие колеса электровоза (рис.2.3) действуют со стороны рельсов силы трения покоя, направленные в сторону движения электровоза. Сумма этих сил и есть сила тяги электровоза. В свою очередь, ведущие колеса действуют на рельсы силами трения покоя, направленными в противоположную сторону .

Количественное описание механического взаимодействия было дано Ньютоном в его третьем законе динамики.

Для материальных точек этот закон формулируется так:

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными противоположно по прямой, соединяющей эти точки (рис.2.4):
.

Третий закон справедлив не всегда.

Выполняется строго

в случае контактных взаимодействий,

при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел.

Перейдем от динамики отдельной материальной точки к динамике механической системы, состоящей из материальных точек.

Для -той материальной точки системы, согласно второму закону Ньютона (2.5), имеем:

. (2.6)

Здесь и - масса и скорость-той материальной точки, - сумма всех действующих на нее сил.

Силы, действующие на механическую систему, делятся на внешние и внутренние. Внешние силы действуют на точки механической системы со стороны других, внешних тел.

Внутренние силы действуют между точками самой системы .

Тогда силу в выражении (2.6) можно представить в виде суммы внешних и внутренних сил:

, (2.7)

где
– результирующая всех внешних сил, действующих на -тую точку системы ; - внутренняя сила, действующая на эту точку со стороны -й .

Подставим выражение (2.7) в (2.6):

, (2.8)

просуммировав левые и правые части уравнений (2.8), записанных для всех материальных точек системы, получаем

. (2.9)

По третьему закону Ньютона силы взаимодействия -той и -й точек системы равны по модулю и противоположны по направлению
.

Поэтому сумма всех внутренних сил в уравнении (2.9) равна нулю:

. (2.10)

Векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, называется главным вектором внешних сил

. (2.11)

Поменяв в выражении (2.9) местами операции суммирования и дифференцирования и учитывая результаты (2.10) и (2.11), а также определение импульса механической системы (2.3), получаем

- основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела.

Это уравнение выражает закон изменения импульса механической системы : производная по времени от импульса механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

2.6. Центр масс и закон его движения.

Центром масс (инерции) механической системы называется точка , радиус-вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных точек системы на их радиус-векторы к массе всей системы:

(2.12)

где и - масса и радиус-вектор-той материальной точки, -общее число этих точек,
–суммарная масса системы.

Если радиус- векторы проведены из центра масс , то
.

Таким образом, центр масс – это геометрическая точка , для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.

В случае непрерывного распределения массы в системе (в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы:

,

где r – радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm , интегрирование проводится по всем элементам системы, т.е. по всей массе m.

Продифференцировав формулу (2.12) по времени, получаем

выражение для скорости центра масс :

Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса этой системы к её массе.

Тогда импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс:

.

Подставив это выражение в основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела, имеем:

(2.13)

- центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложенных к системе внешних сил.

Уравнение (2.13) показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей, но не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.

Если механическая система замкнутая, то
и скорость центра масс не изменяется с течением времени.

Таким образом, центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета. Это означает, что с центром масс можно связать систему отсчета, и эта система будет инерциальной.

В соответствии с первым законом Ньютона в инерциальных системах отсчета тело может изменять свою скорость только, если на него действуют другие тела. Количественно взаимное действие тел друг на друга выражают с помощью такой физической величины, как сила (). Сила может изменять скорость тела, как по модулю, так и по направлению. Сила является векторной величиной, у нее есть модуль (величина) и направление. Направление равнодействующей силы определяет направление вектора ускорения тела, на которое действует рассматриваемая сила.

Основной закон, при помощи которого определяют направление и величину равнодействующей силы - это второй закон Ньютона:

где m - масса тела, на которое действует сила ; - ускорение, которое сила сообщает рассматриваемому телу. Сущность второго закона Ньютона состоит в том, что силы, которые действуют на тело, определяют изменение скорости тела, а не просто его скорость. Необходимо помнить, что второй закон Ньютона работает для инерциальных систем отсчета.

В том случае, если на тело действует несколько сил, то их совместное действие характеризуют при помощи равнодействующей силы. Допустим, что на тело действует одновременно несколько сил, при этом тело перемещается с ускорением, равным векторной сумме ускорений, которые появились бы при воздействии каждой из сил в отдельности. Силы, действующие на тело, и приложенные к одной его точке необходимо складывать по правилу сложения векторов. Векторная сумма всех сил, действующих на тело в один момент времени, называется равнодействующей силой ():

При действии на тело нескольких сил, второй закон Ньютона записывают как:

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, может быть равна нулю, в том случае, если происходит взаимная компенсация сил, приложенных к телу. В таком случае тело движется с постоянной скоростью или находится в покое.

При изображении сил, действующих на тело, на чертеже, в случае равноускоренного перемещения тела, равнодействующую силу, направленную по ускорению следует изображать длиннее, чем противоположно ей направленную силу (сумму сил). В случае равномерного движения (или покоя) дина векторов сил, направленных в противоположные стороны одинакова.

Для нахождения равнодействующей силы, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.

Примеры решения задач по теме «Равнодействующая сила»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Это векторная сумма всех сил, действующих на тело.

Велосипедист наклоняется в сторону поворота. Сила тяжести и сила реакции опоры со стороны земли дают равнодействующую силу, сообщающую центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности

Взаимосвязь со вторым законом Ньютона

Вспомним закон Ньютона:

Равнодействующая сила может быть равна нулю в том случае, когда одна сила компенсируется другой, такой же силой, но противоположной по направлению. В этом случае тело находится в покое или движется равномерно.

Если равнодействующая сила НЕ равна нулю, то тело движется равноускоренно . Собственно именно эта сила является причиной неравномерного движения. Направление равнодействующей силы всегда совпадает по направлению с вектором ускорения.

Когда требуется изобразить силы, действующие на тело, при этом тело движется равноускоренно, значит в направлении ускорения действующая сила длиннее противоположной. Если тело движется равномерно или покоится длина векторов сил одинаковая.

Нахождение равнодействующей силы

Для того, чтобы найти равнодействующую силу, необходимо: во-первых, верно обозначить все силы , действующие на тело; затем изобразить координатные оси , выбрать их направления; на третьем шаге необходимо определить проекции векторов на оси; записать уравнения. Кратко: 1) обозначить силы; 2) выбрать оси, их направления; 3) найти проекции сил на оси; 4) записать уравнения.

Как записать уравнения? Если в некотором направлении тело двигается равномерно или покоится, то алгебраическая сумма (с учетом знаков) проекций сил равна нулю. Если в некотором направлении тело движется равноускоренно, то алгебраическая сумма проекций сил равна произведению массы на ускорение, согласно второму закону Ньютона.

Примеры

На движущееся равномерно по горизонтальной поверхности тело, действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила, под действием которой тело движется.

Обозначим силы, выберем координатные оси

Найдем проекции

Записываем уравнения

Тело, которое прижимают к вертикальной стенке, равноускоренно движется вниз. На тело действуют сила тяжести, сила трения, реакция опоры и сила, с которой прижимают тело. Вектор ускорения направлен вертикально вниз. Равнодействующая сила направлена вертикально вниз.

Тело равноускоренно движется по клину, наклон которого альфа. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения.

Главное запомнить

1) Если тело покоится или движется равномерно, то равнодействующая сила равна нулю и ускорение равно нулю;
2) Если тело движется равноускоренно, значит равнодействующая сила не нулевая;
3) Направление вектора равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения;
4) Уметь записывать уравнения проекций действующих на тело сил

Блок - механическое устройство, колесо, вращающееся вокруг своей оси. Блоки могут быть подвижными и неподвижными.

Неподвижный блок используется лишь для изменения направления силы.

Тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют одинаковые по величине ускорения.

Подвижный блок предназначен для изменения величины прилагаемых усилий. Если концы веревки, обхватывающей блок, составляют с горизонтом равные между собой углы, то для подъёма груза потребуется сила вдвое меньше, чем вес груза. Действующая на груз сила относится к его весу, как радиус блока к хорде дуги, обхваченной канатом.

Ускорение тела А в два раза меньше ускорения тела В.

Фактически, любой блок представляет собой рычаг , в случае неподвижного блока - равноплечий, в случае подвижного - с соотношением плеч 1 к 2. Как и для всякого другого рычага, для блока справедливо правило: во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии

Также используется система, состоящая из комбинации нескольких подвижных и неподвижных блоков. Такая система называется полиспаст.