Cursuri: Fractali. Fractali din jurul nostru Economie și finanțe

Haosul este ordinea care trebuie descifrată.

Jose Saramago, „Dublul”

„Pentru generațiile viitoare, secolul al XX-lea va fi amintit doar pentru crearea teoriilor relativității, mecanicii cuantice și haosului... teoria relativității a eliminat iluziile lui Newton despre spațiu-timp absolut, mecanica cuantică a spulberat visul determinismul evenimentelor fizice și, în cele din urmă, haosul a dezmințit fantezia lui Laplace de predeterminare completă a dezvoltării sistemelor.” Aceste cuvinte ale celebrului istoric și popularizator al științei american James Gleick reflectă importanța enormă a problemei, care este doar pe scurt tratată în articolul adus în atenția cititorului. Lumea noastră a apărut din haos. Totuși, dacă haosul nu s-ar supune propriilor legi, dacă nu ar exista o logică specială în el, nu ar putea genera nimic.

Noul este bine uitat vechi

Permiteți-mi să mai citez unul din Gleick:

Gândul la asemănarea interioară, că marele poate fi înglobat în mic, a mângâiat de mult sufletul omului... Potrivit lui Leibniz, o picătură de apă conține întreaga lume sclipitoare de culori, unde stropii de apă scânteie și trăiesc alte universuri necunoscute. . „Vezi lumea într-un grăunte de nisip”, a strigat Blake, iar unii oameni de știință au încercat să-i urmeze ordinul. Primii cercetători ai lichidului seminal au avut tendința de a vedea în fiecare spermatozoid un fel de homunculus, adică o persoană minusculă, dar complet formată.

Retrospectiva unor astfel de opinii poate fi transformată mult mai departe în istorie. Unul dintre principiile de bază ale magiei - o etapă integrală a dezvoltării oricărei societăți - este postulatul: o parte este asemănătoare întregului. S-a manifestat în acțiuni precum îngroparea craniului unui animal în locul întregului animal, a unui model de car în locul carului însuși etc. Prin păstrarea craniului unui strămoș, rudele credeau că el a continuat să locuiască alături de ei. și să ia parte la treburile lor.

Chiar și filozoful grec antic Anaxagoras considera elementele primare ale universului ca niște particule asemănătoare cu alte particule ale întregului și întregului însuși, „infinite atât în ​​mulțime, cât și în micime”. Aristotel a caracterizat elementele lui Anaxagoras cu adjectivul „asemănător cu părțile”.

Iar contemporanul nostru, ciberneticianul american Ron Eglash, explorând cultura triburilor africane și a indienilor din America de Sud, a făcut o descoperire: încă din cele mai vechi timpuri, unii dintre ei au folosit principii fractale de construcție în ornamente, modele aplicate îmbrăcămintei și articolelor de uz casnic, în bijuterii. , ceremonii rituale și chiar în arhitectură. Astfel, structura satelor unor triburi africane este un cerc în care sunt mici cercuri - case, în interiorul cărora sunt și mai mici cercuri - case ale spiritelor. Pentru alte triburi, în loc de cercuri, alte figuri servesc drept elemente arhitecturale, dar ele se repetă și la scări diferite, subordonate unei singure structuri. Mai mult, aceste principii de construcție nu erau o simplă imitație a naturii, ci erau în concordanță cu viziunea asupra lumii și organizarea socială existente.

Civilizația noastră, s-ar părea, s-a mutat departe de existența primitivă. Totuși, continuăm să trăim în aceeași lume; suntem încă înconjurați de natură, trăind după propriile legi, în ciuda tuturor încercărilor umane de a o adapta la nevoile noastre. Și omul însuși (să nu uităm de asta) rămâne parte din această natură.

Gert Eilenberger, un fizician german care a început să studieze neliniaritatea, a remarcat odată:

De ce silueta unui copac gol este îndoită sub presiunea unui vânt de furtună pe fundalul unui cer posomorât de iarnă percepută ca fiind frumoasă, dar contururile unei clădiri moderne multifuncționale, în ciuda tuturor eforturilor arhitectului, nu par așa la toate? Mi se pare că... simțul nostru de frumos este „alimentat” de îmbinarea armonioasă a ordinii și a dezordinei, care poate fi observată în fenomenele naturale: nori, copaci, lanțuri muntoase sau cristale de fulgi de nea. Toate astfel de contururi sunt procese dinamice înghețate în forme fizice și o combinație de stabilitate și haos este tipică pentru ele.

La originile teoriei haosului

Ce ne referim prin haos? Incapacitatea de a prezice comportamentul sistemului, salturi aleatorii în direcții diferite care nu se vor transforma niciodată într-o secvență ordonată.

Primul cercetător al haosului este matematicianul, fizicianul și filozoful francez Henri Poincaré. Înapoi la sfârșitul secolului al XIX-lea. În timp ce studia comportamentul unui sistem cu trei corpuri care interacționează gravitațional, el a observat că ar putea exista orbite non-periodice care nu se îndepărtează constant de un anumit punct și nici nu se apropie de el.

Metodele tradiționale de geometrie, utilizate pe scară largă în științele naturii, se bazează pe aproximarea structurii obiectului studiat cu figuri geometrice, de exemplu linii, plane, sfere, ale căror dimensiuni metrice și topologice sunt egale între ele. În cele mai multe cazuri, proprietățile obiectului studiat și interacțiunea acestuia cu mediul sunt descrise prin caracteristici termodinamice integrale, ceea ce duce la pierderea unei părți semnificative a informațiilor despre sistem și înlocuirea acestuia cu un model mai mult sau mai puțin adecvat. Cel mai adesea, o astfel de simplificare este complet justificată, dar există numeroase situații în care utilizarea modelelor inadecvate din punct de vedere topologic este inacceptabilă. Un exemplu de astfel de discrepanță a fost dat în teza candidatului său (acum doctor în științe chimice) de Vladimir Konstantinovich Ivanov: este detectat la măsurarea ariei suprafeței dezvoltate (de exemplu, poroase) a solidelor folosind sorbția. metode care înregistrează izotermele de adsorbție. S-a dovedit că mărimea zonei depinde de dimensiunea liniară a moleculelor „de măsurare” nu pătratic, ceea ce ar fi de așteptat din cele mai simple considerații geometrice, dar cu un exponent, uneori foarte apropiat de trei.

Prognoza meteo este una dintre problemele cu care s-a luptat omenirea din cele mai vechi timpuri. Există o glumă binecunoscută pe această temă, în care prognoza meteo este transmisă de-a lungul unui lanț de la un șaman - la un păstor de reni, apoi la un geolog, apoi la redactorul unui program de radio și, în cele din urmă, cercul este închis, întrucât se dovedeşte că şamanul a aflat prognoza de la radio. Descrierea unui sistem complex precum vremea, cu multe variabile, nu poate fi redusă la simple modele. Această problemă a început utilizarea computerelor pentru modelarea sistemelor dinamice neliniare. Unul dintre fondatorii teoriei haosului, meteorologul și matematicianul american Edward Norton Lorenz a dedicat mulți ani problemei prognozării meteo. În anii 60 ai secolului trecut, încercând să înțeleagă motivele lipsei de încredere a prognozelor meteo, el a arătat că starea unui sistem dinamic complex poate depinde în mare măsură de condițiile inițiale: o ușoară modificare a unuia dintre mulți parametri se poate schimba radical. rezultatul scontat. Lorenz a numit această dependență efectul fluture: „Fâlfâitul aripilor unei molii de astăzi la Beijing ar putea provoca un uragan în New York într-o lună”. Lucrările sale privind circulația generală a atmosferei i-au adus faimă. Studiind sistemul de ecuații cu trei variabile care descriu procesul, Lorenz a afișat grafic rezultatele analizei sale: liniile graficului reprezintă coordonatele punctelor determinate de soluțiile în spațiul acestor variabile (Fig. 1). Helixul dublu rezultat, numit atractor Lorentz(sau „atractor ciudat”), arăta ca ceva la nesfârșit confuz, dar mereu situat în anumite limite și care nu se repetă niciodată. Mișcarea într-un atractor este abstractă (variabilele pot fi viteza, densitatea, temperatura etc.) și totuși transmite caracteristicile fenomenelor fizice reale, cum ar fi mișcarea unei roți de apă, convecția într-o buclă închisă, radiația dintr-un laser monomod, oscilații armonice disipative (ai căror parametri joacă rolul variabilelor corespunzătoare).

Dintre miile de publicații care au alcătuit literatura de specialitate despre problema haosului, aproape nici una a fost citată mai des decât lucrarea lui Lorentz din 1963 „Fluxul non-periodic determinist”. Deși modelarea computerizată transformase deja prognoza meteo dintr-o „artă într-o știință” la momentul acestei lucrări, prognozele pe termen lung erau încă nesigure și nesigure. Motivul a fost același efect de fluture.

În aceiași ani 60, matematicianul Stephen Smail de la Universitatea din California a adunat la Berkeley un grup de cercetare format din tineri cu idei similare. El a primit anterior medalia Fields pentru cercetările sale remarcabile în topologie. Smale a studiat sistemele dinamice, în special oscilatorii haotici neliniari. Pentru a reproduce toată dezordinea oscilatorului van der Pol în spațiul fazelor, el a creat o structură cunoscută sub numele de „potcoavă” - un exemplu de sistem dinamic care are o dinamică haotică.

„Pocoava” (Fig. 2) este o imagine precisă și vizibilă a unei puternice dependențe de condițiile inițiale: nu veți ghici niciodată unde va fi punctul de plecare după mai multe iterații. Acest exemplu a fost impulsul pentru inventarea „difereomorfismelor Anosov” de către matematicianul rus, specialist în teoria sistemelor dinamice și a ecuațiilor diferențiale, geometrie și topologie diferențială, Dmitri Viktorovich Anosov. Mai târziu, din aceste două lucrări a crescut teoria sistemelor dinamice hiperbolice. A durat un deceniu înainte ca lucrările lui Smale să ajungă în atenția altor discipline. „Când s-a întâmplat acest lucru, fizicienii și-au dat seama că Smail a transformat o întreagă ramură a matematicii pentru a se confrunta cu lumea reală.”

În 1972, matematicianul de la Universitatea din Maryland, James York, a citit lucrarea lui Lorentz menționată mai sus și l-a surprins. York a văzut un model fizic viu în articol și a considerat că era de datoria lui sacră să transmită fizicienilor ceea ce ei nu văzuseră în lucrările lui Lorentz și Smail. I-a transmis lui Smail o copie a articolului lui Lorenz. A fost uimit să descopere că un meteorolog necunoscut (Lorentz) cu zece ani mai devreme descoperise tulburarea pe care el însuși o considerase cândva incredibilă din punct de vedere matematic și a trimis copii tuturor colegilor săi.

Biologul Robert May, un prieten al lui York, studia schimbările în populațiile de animale. May a mers pe urmele lui Pierre Verchlust, care în 1845 a atras atenția asupra impredictibilității modificărilor numărului de animale și a ajuns la concluzia că rata de creștere a populației nu este o valoare constantă. Cu alte cuvinte, procesul se dovedește a fi neliniar. May a încercat să surprindă ce se întâmplă cu o populație atunci când fluctuațiile coeficientului de creștere se apropie de un anumit punct critic (punctul de bifurcație). Variind valorile acestui parametru neliniar, el a descoperit că schimbări fundamentale sunt posibile în însăși esența sistemului: o creștere a parametrului a însemnat o creștere a gradului de neliniaritate, care, la rândul său, a schimbat nu numai cantitativ. , dar și caracteristicile calitative ale rezultatului. O astfel de operațiune a influențat atât valoarea finală a mărimii populației aflate în echilibru, cât și capacitatea acesteia de a realiza în general aceasta din urmă. În anumite condiții, periodicitatea a lăsat loc haosului, oscilațiilor care nu s-au stins niciodată.

York a analizat matematic fenomenele descrise în lucrarea sa, demonstrând că în orice sistem unidimensional se întâmplă următoarele: dacă apare un ciclu regulat cu trei valuri (creșteri și scăderi netede în valorile oricărui parametru), atunci în viitor, sistemul va începe să demonstreze cât de regulate cicluri de orice altă durată , și complet haotic. (După cum s-a dovedit la câțiva ani după publicarea articolului la o conferință internațională din Berlinul de Est, matematicianul sovietic (ucrainean) Alexander Nikolaevici Sharkovsky a fost oarecum înaintea lui York în cercetările sale). York a scris un articol pentru celebra publicație științifică American Mathematical Monthly. Cu toate acestea, York a obținut mai mult decât un simplu rezultat matematic: le-a demonstrat fizicienilor că haosul este omniprezent, stabil și structurat. El a dat motive să creadă că sistemele complexe, descrise în mod tradițional prin ecuații diferențiale greu de rezolvat, pot fi reprezentate folosind grafice vizuale.

May a încercat să atragă atenția biologilor asupra faptului că populațiile de animale experimentează mai mult decât cicluri ordonate. Pe drumul către haos, apare o întreagă cascadă de dublare a perioadei. În punctele de bifurcație, o ușoară creștere a fertilității indivizilor ar putea duce, de exemplu, la înlocuirea ciclului de patru ani al populației de molii țigănești cu unul de opt ani. Americanul Mitchell Feigenbaum a decis să înceapă prin a calcula valorile exacte ale parametrului care a dat naștere unor astfel de modificări. Calculele sale au arătat că nu contează care era populația inițială - încă se apropia constant de atractor. Apoi, odată cu prima dublare a perioadelor, atractorul, ca o celulă care se divide, s-a bifurcat. Apoi a avut loc următoarea multiplicare a perioadelor și fiecare punct atractor a început să se împartă din nou. Numărul - un invariant obținut de Feigenbaum - i-a permis să prezică exact când se va întâmpla asta. Omul de știință a descoperit că ar putea prezice acest efect pentru cel mai complex atractor - la două, patru, opt puncte... Vorbind în limbajul ecologiei, el ar putea prezice numărul real care se realizează în populații în timpul fluctuațiilor anuale. Așa că Feigenbaum a descoperit „cascada de dublare a perioadei” în 1976, bazându-se pe munca lui May și pe cercetările sale asupra turbulenței. Teoria lui a reflectat o lege naturală care se aplică tuturor sistemelor care se confruntă cu o tranziție de la o stare ordonată la haos. York, May și Feigenbaum au fost primii din Occident care au înțeles pe deplin importanța dublării perioadei și au reușit să transmită această idee întregii comunități științifice. May a afirmat că haosul trebuie învățat.

Matematicienii și fizicienii sovietici au avansat în cercetarea lor independent de colegii lor străini. Studiul haosului a început cu munca lui A. N. Kolmogorov în anii 50. Dar ideile colegilor străini nu au trecut neobservate. Pionierii teoriei haosului sunt considerați a fi matematicienii sovietici Andrei Nikolaevici Kolmogorov și Vladimir Igorevici Arnold și matematicianul german Jurgen Moser, care au construit teoria haosului numită KAM (teoria Kolmogorov-Arnold-Moser). Un alt dintre compatrioții noștri remarcabili, genialul fizician și matematician Yakov Grigorievich Sinai, a aplicat în termodinamică considerații asemănătoare cu „Pocoava de cal”. De îndată ce fizicienii occidentali au făcut cunoștință cu opera lui Lorentz în anii 70, aceasta a devenit faimoasă în URSS. În 1975, în timp ce York și May făceau încă eforturi considerabile pentru a capta atenția colegilor lor, Sinai și tovarășii săi au organizat un grup de cercetare la Gorki pentru a studia această problemă.

În secolul trecut, când specializarea îngustă și separarea între diverse discipline au devenit norma în știință, matematicienii, fizicienii, biologii, chimiștii, fiziologii și economiștii s-au luptat cu probleme similare fără să se audă. Ideilor care necesită o schimbare a viziunii obișnuite asupra lumii le este întotdeauna greu să-și găsească drumul. Cu toate acestea, a devenit treptat clar că lucruri precum schimbările populațiilor de animale, fluctuațiile prețurilor pieței, schimbările vremii, distribuția corpurilor cerești în funcție de dimensiune și multe, multe altele, sunt supuse acelorași modele. „Conștientizarea acestui fapt i-a forțat pe manageri să-și reconsidere atitudinea față de asigurări, pe astronomi să privească sistemul solar dintr-un unghi diferit și pe politicieni să-și schimbe părerea despre cauzele conflictelor armate.”

La mijlocul anilor '80 situația se schimbase foarte mult. Ideile geometriei fractale au unit oamenii de știință care erau nedumeriți de propriile lor observații și nu știau cum să le interpreteze. Pentru cercetătorii haosului, matematica a devenit o știință experimentală, iar computerele au înlocuit laboratoarele. Imaginile grafice au devenit de o importanță capitală. Noua știință a oferit lumii un limbaj special, concepte noi: portret de fază, atractor, bifurcare, secțiune a spațiului de fază, fractal...

Benoit Mandelbrot, bazându-se pe ideile și lucrările predecesorilor și contemporanilor săi, a arătat că procese atât de complexe precum creșterea unui copac, formarea norilor, variațiile caracteristicilor economice sau dimensiunea populațiilor de animale sunt guvernate de legi ale naturii în esență similare. . Acestea sunt anumite tipare după care trăiește haosul. Din punctul de vedere al auto-organizării naturale, ele sunt mult mai simple decât formele artificiale familiare oamenilor civilizați. Ele pot fi considerate complexe doar în contextul geometriei euclidiene, deoarece fractalii sunt determinați prin specificarea unui algoritm și, prin urmare, pot fi descriși folosind o cantitate mică de informații.

Geometria fractală a naturii

Să încercăm să ne dăm seama ce este un fractal și cu ce se mănâncă. Și, de fapt, puteți mânca unele dintre ele, cum ar fi reprezentantul tipic prezentat în fotografie.

Cuvânt fractal provine din latină fractus - zdrobit, spart, spart în bucăți. Un fractal este o mulțime matematică care are proprietatea auto-asemănării, adică invarianța la scară.

Termenul „fractal” a fost inventat de Mandelbrot în 1975 și a câștigat popularitate pe scară largă odată cu publicarea cărții sale din 1977 The Fractal Geometry of Nature. „Dă-i monstrului un nume confortabil și familiar și vei fi surprins cât de ușor va fi să-l îmblânzești!” – spuse Mandelbrot. Această dorință de a face obiectele studiate (mulțimile matematice) apropiate și de înțeles a dus la nașterea de noi termeni matematici, precum praf, brânză de vacă, ser, demonstrând clar legătura lor profundă cu procesele naturale.

Conceptul matematic al unui fractal identifică obiectele care au structuri de diferite scări, atât mari cât și mici, și reflectă astfel principiul ierarhic de organizare. Desigur, diferite ramuri ale unui copac, de exemplu, nu pot fi aliniate exact unele cu altele, dar pot fi considerate similare în sens statistic. În același mod, formele norilor, contururile munților, linia coastei mării, modelul flăcărilor, sistemul vascular, ravenele, fulgerele, privite la diferite scări, arată similar. Deși această idealizare poate fi o simplificare a realității, ea crește semnificativ profunzimea descrierii matematice a naturii.

Mandelbrot a introdus conceptul de „fractal natural” pentru a desemna structuri naturale care pot fi descrise folosind seturi de fractali. Aceste obiecte naturale includ un element de hazard. Teoria creată de Mandelbrot face posibilă descrierea cantitativă și calitativă a tuturor acelor forme care au fost numite anterior încurcate, ondulate, aspre etc.

Procesele dinamice discutate mai sus, așa-numitele procese de feedback, apar în diverse probleme fizice și matematice. Toți au un lucru în comun - competiția între mai mulți centri (numiți „atractori”) pentru dominația în avion. Starea în care se află sistemul după un anumit număr de iterații depinde de „locul său de pornire”. Prin urmare, fiecărui atractor îi corespunde o anumită regiune de stări inițiale, din care sistemul va cădea în mod necesar în starea finală luată în considerare. Astfel, spațiul de fază al sistemului (spațiul abstract al parametrilor asociați unui sistem dinamic specific, punctele în care caracterizează în mod unic toate stările sale posibile) este împărțit în zone de atractie atractori. Există o întoarcere deosebită la dinamica lui Aristotel, conform căreia fiecare corp tinde către locul său destinat. Granițele simple între „teritoriile învecinate” apar rareori ca urmare a unei astfel de rivalități. În această zonă de graniță are loc trecerea de la o formă de existență la alta: de la ordine la haos. Forma generală a expresiei pentru legea dinamică este foarte simplă: x n+1 → f x n C . Întreaga dificultate constă în relația neliniară dintre valoarea inițială și rezultat. Dacă începeți un proces iterativ de tipul indicat de la o valoare arbitrară \(x_0\), atunci rezultatul acestuia va fi secvența \(x_1\), \(x_2\), ..., care fie va converge către o anumită limitare. valoarea \(X\) , luptă pentru o stare de odihnă, fie va ajunge la un anumit ciclu de valori care se va repeta din nou și din nou, fie se va comporta neregulat și imprevizibil tot timpul. Tocmai astfel de procese au fost studiate de matematicienii francezi Gaston Julia și Pierre Fateau în timpul Primului Război Mondial.

Studiind seturile pe care le-au descoperit, Mandelbrot în 1979 a ajuns să înfățișeze o imagine pe plan complex, care este, după cum va fi clar din cele ce urmează, un fel de cuprins pentru o întreagă clasă de forme numite seturi Julia. Mulțimea Julia este o mulțime de puncte care apar ca urmare a iterației transformării pătratice: x n → x n−1 2 + C, dinamica în vecinătatea cărora este instabilă în raport cu micile perturbări ale poziției inițiale. Fiecare valoare succesiva a lui \(x\) se obtine din cea precedenta; se numeste numarul complex \(C\). parametru de control. Comportamentul șirului de numere depinde de parametrul \(C\) și de punctul de plecare \(x_0\). Dacă fixăm \(C\) și modificăm \(x_0\) în câmpul numerelor complexe, obținem setul Julia. Dacă fixăm \(x_0\) = 0 și modificăm \(C\), obținem mulțimea Mandelbrot (\(M\)). Ne spune la ce fel de set Julia ar trebui să ne așteptăm pentru o anumită alegere a \(C\). Fiecare număr complex \(C\) fie aparține regiunii \(M\) (negru în Fig. 3), fie nu. \(C\) aparține lui \(M\) dacă și numai dacă „punctul critic” \(x_0\) = 0 nu tinde spre infinit. Mulțimea \(M\) constă din toate punctele \(C\) care sunt asociate cu mulțimi Julia conexe, dar dacă un punct \(C\) se află în afara mulțimii \(M\), mulțimea Julia asociată acestuia este deconectat. Granița mulțimii \(M\) determină momentul tranziției de fază matematică pentru mulțimile Julia x n → x n−1 2 + C . Când parametrul \(C\) părăsește \(M\), seturile Julia își pierd conectivitatea, la figurat vorbind, explodează și se transformă în praf. Saltul calitativ care are loc la limita \(M\) afectează și regiunea adiacentă graniței. Structura dinamică complexă a regiunii de frontieră poate fi reprezentată aproximativ prin pictarea (condițional) în culori diferite a zonelor cu același timp de „fuire la infinit a punctului inițial \(x_0\) = 0”. Acele valori ale \(C\) (o nuanță) pentru care punctul critic necesită un număr dat de iterații care să fie în afara cercului de rază \(N\) umple golul dintre cele două linii. Pe măsură ce ne apropiem de limita \(M\), numărul necesar de iterații crește. Punctul este din ce în ce mai forțat să hoinărească de-a lungul potecilor întortocheate din apropierea ansamblului Julia. Setul Mandelbrot întruchipează procesul de tranziție de la ordine la haos.

Este interesant de urmărit calea pe care a urmat-o Mandelbrot către descoperirile sale. Benoit s-a născut la Varșovia în 1924; în 1936 familia a emigrat la Paris. După ce a absolvit Ecole Polytechnique și apoi Universitatea din Paris, Mandelbrot s-a mutat în SUA, unde a studiat și la California Institute of Technology. În 1958, a luat un loc de muncă la centrul de cercetare din Yorktown al IBM. În ciuda activităților pur aplicate ale companiei, poziția sa i-a permis să efectueze cercetări într-o varietate de domenii. Lucrând în domeniul economiei, tânărul specialist a început să studieze statisticile prețurilor bumbacului pe o perioadă lungă de timp (mai mult de 100 de ani). Analizând simetria fluctuațiilor de preț pe termen lung și pe termen scurt, el a observat că aceste fluctuații din timpul zilei păreau aleatorii și imprevizibile, dar succesiunea unor astfel de modificări nu depindea de scară. Pentru a rezolva această problemă, el a folosit pentru prima dată dezvoltările sale ale viitoarei teorii fractale și afișarea grafică a proceselor studiate.

Interesat de o varietate de domenii ale științei, Mandelbrot s-a îndreptat către lingvistica matematică, apoi a venit rândul teoriei jocurilor. El și-a propus, de asemenea, propria abordare a economiei, subliniind ordinea de scară în răspândirea orașelor mici și mari. În timp ce studia o lucrare puțin cunoscută a savantului englez Lewis Richardson, publicată după moartea autorului, Mandelbrot a întâlnit fenomenul litoralului. În articolul „Cât de lungă este coasta Marii Britanii?” el explorează în detaliu această întrebare, la care puțini oameni s-au gândit până acum, și ajunge la concluzii neașteptate: lungimea liniei de coastă este... infinit! Cu cât încerci să-l măsori mai precis, cu atât valoarea lui devine mai mare!

Pentru a descrie astfel de fenomene, Mandelbrot a venit cu ideea de dimensiune. Dimensiunea fractală a unui obiect servește ca o caracteristică cantitativă a uneia dintre trăsăturile sale, și anume, umplerea spațiului său.

Definiția conceptului de dimensiune fractală datează din lucrarea lui Felix Hausdorff, publicată în 1919, și a fost în cele din urmă formulată de Abram Samoilovici Besikovici. Dimensiunea fractală este o măsură a detaliilor, ruperii și neuniformității unui obiect fractal. În spațiul euclidian, dimensiunea topologică este întotdeauna determinată de un număr întreg (dimensiunea unui punct este 0, o dreaptă este 1, un plan este 2, un corp volumetric este 3). Dacă urmăriți, de exemplu, proiecția pe planul de mișcare a unei particule browniene, care pare să fie formată din segmente drepte, adică să aibă dimensiunea 1, se va dovedi foarte curând că urma sa umple aproape întregul plan. Dar dimensiunea planului este 2. Discrepanța dintre aceste mărimi ne dă dreptul de a clasifica această „curbă” drept fractal și de a numi dimensiunea sa intermediară (fracțională) fractal. Dacă luăm în considerare mișcarea haotică a unei particule într-un volum, dimensiunea fractală a traiectoriei va fi mai mare de 2, dar mai mică de 3. Arterele umane, de exemplu, au o dimensiune fractală de aproximativ 2,7. Rezultatele lui Ivanov menționate la începutul articolului referitoare la măsurarea ariei porilor a gelului de silice, care nu poate fi interpretată în cadrul conceptelor euclidiene convenționale, găsesc o explicație rezonabilă atunci când se utilizează teoria fractalilor.

Deci, din punct de vedere matematic, un fractal este o mulțime pentru care dimensiunea Hausdorff-Besicovich este strict mai mare decât dimensiunea sa topologică și poate fi (și cel mai adesea este) fracționară.

Trebuie subliniat în special faptul că dimensiunea fractală a unui obiect nu descrie forma acestuia, iar obiectele care au aceeași dimensiune, dar generate de mecanisme de formare diferite, sunt adesea complet diferite unele de altele. Fractalii fizici sunt mai degrabă auto-similari statistic.

Măsurarea fracționată permite calcularea unor caracteristici care nu pot fi clar determinate altfel: gradul de denivelare, discontinuitate, rugozitate sau instabilitate a unui obiect. De exemplu, o coastă întortocheată, în ciuda lungimii sale incomensurabile, are o rugozitate unică. Mandelbrot a indicat modalități de a calcula măsurători fracționale ale obiectelor din realitatea înconjurătoare. În crearea geometriei sale, el a propus o lege despre formele dezordonate care apar în natură. Legea spunea: gradul de instabilitate este constant la diferite scări.

Un tip special de fractali sunt fractali de timp. În 1962, Mandelbrot s-a confruntat cu sarcina de a elimina zgomotul din liniile telefonice care provoca probleme modemurilor computerelor. Calitatea transmisiei semnalului depinde de probabilitatea apariției erorilor. Inginerii s-au luptat cu problema reducerii zgomotului, venind cu tehnici uluitoare și costisitoare, dar nu au obținut rezultate impresionante. Pe baza lucrărilor fondatorului teoriei mulțimilor, Georg Cantor, Mandelbrot a arătat că apariția zgomotului - produsul haosului - nu poate fi evitată în principiu, prin urmare metodele propuse de a le trata nu vor aduce rezultate. În căutarea unui model în apariția zgomotului, el primește „Praful Cantor” - o secvență fractală de evenimente. În mod interesant, distribuția stelelor în Galaxie urmează aceleași modele:

„Materia”, distribuită uniform de-a lungul inițiatorului (un singur segment al axei timpului), este expusă unui vortex centrifugal, care o „mătură” până la treimi extreme ale intervalului... Coagulare poate fi numită orice cascadă de stări instabile, conducând în cele din urmă la o îngroșare a materiei, și termenul brânză de vacă poate determina volumul în interiorul căruia o anumită caracteristică fizică devine – ca urmare a coagulării – extrem de concentrată.

Fenomenele haotice, cum ar fi turbulența atmosferică, mobilitatea crustalei etc., prezintă un comportament similar la diferite scări de timp, la fel cum obiectele invariante la scară prezintă modele structurale similare la diferite scări spațiale.

Ca exemplu, vom oferi mai multe situații tipice în care este util să folosim idei despre structura fractală. Profesorul de la Universitatea Columbia, Christopher Scholz, s-a specializat în studierea formei și structurii materiei solide a Pământului și a studiat cutremurele. În 1978, a citit cartea lui Mandelbrot Fractals: Shape, Randomness and Dimension » și a încercat să aplice teoria la descrierea, clasificarea și măsurarea obiectelor geofizice. Scholz a descoperit că geometria fractală a oferit științei o metodă eficientă de descriere a peisajului particular de bulgări al Pământului. Dimensiunea fractală a peisajelor planetei deschide ușa pentru înțelegerea celor mai importante caracteristici ale acesteia. Metalurgiștii au descoperit același lucru la o altă scară - pe suprafețele diferitelor tipuri de oțel. În special, dimensiunea fractală a unei suprafețe metalice ne permite adesea să judecăm rezistența acesteia. Un număr mare de obiecte fractale produc fenomenul de cristalizare. Cel mai comun tip de fractali care apar în timpul creșterii cristalelor sunt dendritele; acestea sunt extrem de răspândite în natura vie. Ansamblurile de nanoparticule demonstrează adesea implementarea „prafului Lewy”. Aceste ansambluri se combină cu solventul absorbit pentru a forma compacte transparente - ochelari Lewy, materiale fotonice potențial importante.

Întrucât fractalii nu sunt exprimați în forme geometrice primare, ci în algoritmi, seturi de proceduri matematice, este clar că această zonă a matematicii a început să se dezvolte odată cu apariția și dezvoltarea computerelor puternice. Haosul, la rândul său, a dat naștere la noi tehnologii informatice, tehnologie grafică specială care este capabilă să reproducă structuri uimitoare de o complexitate incredibilă generate de anumite tipuri de tulburări. În epoca internetului și a computerelor personale, ceea ce era destul de dificil pe vremea lui Mandelbrot a devenit ușor accesibil oricui. Dar cel mai important lucru din teoria sa a fost, desigur, nu crearea de imagini frumoase, ci concluzia că acest aparat matematic este potrivit pentru a descrie fenomene și procese naturale complexe care nu fuseseră deloc luate în considerare anterior în știință. Repertoriul elementelor algoritmice este inepuizabil.

Odată ce stăpânești limbajul fractalilor, poți descrie forma unui nor la fel de clar și simplu așa cum un arhitect descrie o clădire folosind desene care folosesc limbajul geometriei tradiționale.<...>Au trecut doar câteva decenii de când Benoit Mandelbrot a declarat: „Geometria naturii este fractală!” Astăzi putem deja presupune mult mai mult, și anume că fractalitatea este principiul primar de construcție a tuturor obiectelor naturale fără excepție.

În concluzie, permiteți-mi să vă prezint atenției un set de fotografii care ilustrează această concluzie și fractali construiți folosind un program de calculator Explorator de fractali. Următorul nostru articol va fi dedicat problemei utilizării fractalilor în fizica cristalelor.

Post Scriptum

Din 1994 până în 2013, o lucrare unică a oamenilor de știință autohtoni, „Atlasul variațiilor temporale în procesele antropogenice și sociale naturale”, a fost publicată în cinci volume - o sursă de materiale de neegalat care include date de monitorizare a spațiului, biosferei, litosferei, atmosferei, hidrosferei. , sfere sociale și tehnogene și sfere legate de sănătatea umană și calitatea vieții. Textul oferă detalii despre datele și rezultatele prelucrării acestora și compară caracteristicile dinamicii seriilor de timp și fragmentele acestora. O prezentare unificată a rezultatelor face posibilă obținerea de rezultate comparabile pentru a identifica caracteristicile comune și individuale ale dinamicii proceselor și relațiile cauză-efect dintre acestea. Materialul experimental arată că procesele din diferite domenii sunt, în primul rând, similare și, în al doilea rând, mai mult sau mai puțin conectate între ele.

Așadar, atlasul a rezumat rezultatele cercetării interdisciplinare și a prezentat o analiză comparativă a datelor complet diferite pe o gamă largă de timp și spațiu. Cartea arată că „procesele care au loc în sferele terestre sunt cauzate de un număr mare de factori care interacționează, care în diferite zone (și în momente diferite) provoacă reacții diferite”, ceea ce indică „necesitatea unei abordări integrate a analizei observații geodinamice, cosmice, sociale, economice și medicale" Rămâne de exprimat speranța că această activitate fundamental importantă va fi continuată.

EXPLORAREA LUMII FRACTALLOR

Vasilieva Marina Vladimirovna

Student în anul III, Facultatea de Informatică, SSAU. Academicianul S.P. Koroleva, Federația Rusă, Samara

Tishin Vladimir Viktorovici

conducător științific, profesor asociat, Departamentul de Matematică Aplicată, SSAU

lor. Academicianul S.P. Koroleva, Federația Rusă, Samara

Introducere

Lumea fractalilor este o lume uimitoare, uriașă și diversă. Încântă, captivează, dar uneori este greu de înțeles. Desenele fractale sunt vârful inspirației maestrului pe calea către unitatea perfectă a matematicii, informaticii și artei. Recent, modelele geometrice ale obiectelor naturale au fost descrise folosind combinații de forme simple, cum ar fi linii drepte, triunghiuri, cercuri, sfere și poliedre. Dar folosind un set din aceste figuri celebre nu este ușor să descrii obiecte naturale mai complexe, de exemplu, materiale poroase, forme de nori, coroane de copaci. Noile instrumente informatice, de care știința modernă nu se poate lipsi, duc matematica la un nivel extrem de înalt. Când studiezi fractalii, realizezi că este foarte greu să tragi o linie între matematică și informatică, deoarece acestea sunt strâns legate între ele, încercând să descopere tipare unice, unice. Fractalii ne apropie de înțelegerea unor procese și fenomene naturale. Prin urmare, m-a interesat subiectul fractalilor.

Am avut o problemă: cum să construiesc un fractal folosind formule matematice.

Ipoteza: dacă studiezi modelele de construcție a fractalilor, atunci acestea pot fi modelate.

Metode de cercetare: analiză, sinteză, modelare.

Scop: construirea de fractali folosind tehnologia computerizată.

Obiective: explorarea fractalilor; studiază istoria apariției și aplicării fractalilor.

Relevanță: cred că fractalii sunt viitorul; ei transmit mai bine lumea noastră în schimbare și complexă. Fractalii ajută la studierea diferitelor procese și fenomene.

Rezultatul cercetării: dezvoltarea unui algoritm pentru construirea fractalilor.

Semnificație teoretică și practică: utilizarea unui algoritm pentru construirea de fractali pentru a studia proprietățile acestora.

Conceptul de „fractal”

Conceptele de „fractal” și „geometrie fractală” au apărut în anii 70-80 ai secolului al XX-lea. Ei au devenit ferm stabiliți în utilizarea matematicienilor și programatorilor. Cuvântul „fractal”, care în latină înseamnă rupt, împărțit în părți, a fost propus de Benoit Mandelbrot, un matematician american, în 1975 pentru a desemna structuri neregulate auto-similare. Mandelbrot a dat următoarea definiție: „un fractal este o structură formată din părți care sunt într-un anumit sens similare cu întregul”. Trebuie remarcat faptul că proprietatea auto-asemănării reflectă caracteristica principală a obiectelor naturale.

Din punctul de vedere al matematicii, un fractal este, în primul rând, un set de dimensiuni fracționale. Se știe că dimensiunea unui segment este 1, un pătrat este 2, un cub și un paralelipiped sunt 3. Dimensiunea fracțională este proprietatea principală a fractalilor.

Nașterea geometriei fractale este asociată cu publicarea cărții lui Mandelbrot „Geometria fractală a naturii” în 1977. Folosește rezultatele științifice ale oamenilor de știință, inclusiv Poincare, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, care au lucrat în perioada 1875-1925. in aceeasi zona. Și numai în vremea noastră a fost posibilă combinarea acestor lucrări într-un singur sistem.

Geometria fractală este o revoluție în matematică și descrierea matematică a naturii. Benoit Mandelbrot însuși, descoperitorul geometriei fractale, scrie despre asta astfel: „Norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri, coastele nu sunt cercuri, iar crusta nu este netedă, iar fulgerul nu călătorește în linie dreaptă. Natura ne arată nu doar un grad mai înalt, ci un cu totul alt nivel de complexitate. Numărul de scări de lungime diferite în structuri este infinit.”

Prin vizualizarea obiectelor fractale la scări diferite, aceleași elemente de bază pot fi descoperite cu ușurință. Modelele care se repetă determină dimensiunea fracțională a unei figuri geometrice neobișnuite.

Clasificarea fractalilor

Este convenabil să se recurgă la clasificarea lor general acceptată pentru a prezenta întreaga varietate de fractali. Fractalii sunt împărțiți în geometrici, algebrici și stocastici.

Fractalii geometrici includ: curba Koch, curba dragonului, curba Levy, curba Minkowski, triunghiul Sierpinski, covorul Sierpinski, set Cantor și arborele lui Pitagora.

Fractalii din această clasă sunt cei mai vizuali, deoarece auto-asemănarea este imediat vizibilă în ei. În cazul bidimensional, acestea pot fi obținute folosind o linie întreruptă, care se numește generator, în cazul tridimensional - o suprafață. Fiecare dintre segmentele care alcătuiesc polilinia, într-un singur pas al algoritmului, este înlocuit cu o polilinie generatoare, la scara corespunzătoare. Astfel, se obține o curbă fractală ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri. În ciuda complexității aparente a curbei rezultate, aspectul său general este determinat doar de forma generatorului.

Fractali algebrici: mulțime Mandelbrot, mulțime Julia, bazine Newton, biomorfe.

Fractalii algebrici sunt cei mai numeroși. Pentru a construi fractali algebrici, se folosesc iterații de mapări neliniare, care sunt specificate prin formule algebrice simple. Procesele bidimensionale sunt considerate cele mai studiate. Trebuie remarcat faptul că sistemele dinamice neliniare au mai multe stări stabile. Starea în care se află sistemul dinamic după un anumit număr de iterații depinde de starea inițială. Capacitatea de a genera structuri non-triviale foarte complexe folosind algoritmi primitivi a fost o surpriză pentru matematicieni.

Fractalii stocastici includ plasma și fractalul randomizat.

Termenul „stohasticitate” provine din cuvântul grecesc și înseamnă „asumare”.

Oricât de asemănătoare este cu linia țărmului, curba Koch nu poate fi folosită ca model, pentru că este aceeași peste tot, auto-asemănătoare și, s-ar putea spune, prea „corectă”. Toate obiectele naturale sunt create după capriciul naturii; există întotdeauna un accident în acest proces. Fractalii stocastici sunt acei fractali care, atunci când sunt construiti, schimbă aleatoriu unii parametri într-un sistem iterativ. În acest caz, rezultatele sunt foarte asemănătoare cu obiectele naturale, cum ar fi copacii asimetrici și coastele accidentate. La modelarea terenului și a suprafeței mării, se folosesc fractali stocastici bidimensionali.

Aplicarea fractalilor

Principala aplicație a fractalilor este grafica modernă pe computer. Cu ajutorul lor, puteți crea seturi plate și suprafețe de forme foarte complexe, schimbând în același timp parametrii din ecuațiile date.

Geometria fractală este indispensabilă atunci când se generează nori artificiali, peisaje montane și mări. Oamenii de știință au găsit o modalitate simplă de a descrie obiecte complexe ale căror imagini seamănă cu forme naturale.

Cea mai utilă utilizare a fractalilor în informatică este considerată a fi compresia datelor fractale. Baza pentru acest tip de compresie este că geometria fractală descrie destul de bine lumea reală. În acest caz, imaginile sunt comprimate chiar mai bine decât folosind metode convenționale. Când imaginea este mărită, nu există niciun efect de pixelare; acesta este un alt avantaj al compresiei fractale. Cu compresia fractală, după mărire, imaginea arată adesea chiar mai bine decât înainte.

Trebuie remarcat faptul că fractalii sunt utilizați în criptarea datelor folosind algoritmi fractali.

Pentru a transmite date la distanță, se folosesc antene care au forme fractale, ceea ce le reduce foarte mult greutatea și dimensiunea.

De asemenea, folosind fractali, puteți simula procese fizice complexe, de exemplu, flăcări. Formele fractale reproduc destul de bine materialele poroase cu o structură geometrică foarte complexă. Astfel de cunoștințe sunt folosite în știința petrolului.

Teoria fractalilor este folosită și în studiul structurii Universului.

În biologie, putem lua în considerare exemple precum interacțiunile biosenzoriale și bătăile inimii, modelarea proceselor haotice. Fractalii sunt folosiți în lucrările lor de artiști, designeri și compozitori.

Algoritmi pentru construirea de fractali

Să luăm în considerare setul Mandelbrot. În matematică, mulțimea Mandelbrot este un fractal, care este definit ca o mulțime de puncte pe plan complex, succesiunea iterativă nu merge la infinit și este dată de formulele z 0 = 0, Z n +1 = Z n 2 + M. Pentru a construi această secvență de puncte, adică un fractal, trecem de la forma complexă de notație folosind transformări la formule convenabile pentru construcție.

Dacă expresia Z n +1 =Z n 2 +M este reformulată ca o succesiune iterativă de valori ale coordonatelor planului complex x și y, adică luând Z = X + iY și M = p + iq ( unde i este unitatea imaginară), atunci obținem algoritmul cu formulele (1): X n +1 =X n 2 –Y n 2 +p; Y n +1 =2X n Y n +q, cu parametrii p = – 0,5219;

Mai întâi setăm X n = 0; Y n = 0, iar conform formulelor (1) se obține la prima etapă a calculelor: X n +1 =0 2 –0 2 –0,5219= – 0,5219; Y n +1 =2·0·0+0,4999.

Acum punem X n = X n +1 = – 0,5219; Y n = Y n +1 = 0,4999, iar conform formulelor (1) se obține în a doua etapă: X n +1 = (–0,5219) 2 – (0,4999) 2 – 0,5219 = – 0, 4994...;

Y n +1 = 2·(–0,5219)·(0,4999) + 0,4999 = – 0,0218....

Apoi punem X n = X n +1 = – 0,4994...; Y n = Y n +1 = –0,0218 și din nou folosind formulele (1) continuăm mai departe. Adică, la fiecare etapă ulterioară de calcule (iterații), valorile anterioare ale lui X n +1 și Y n +1 trebuie înlocuite în formulele (1) ca noi valori ale lui X n și Y n.

În programul Microsoft Excel, puteți face 32.000 de „pași” similari de calcule, apoi puteți construi („puncte”) un grafic al funcției Y n +1 = f(X n +1), care va arăta ca un „aprinzător”. soare". Mai mult, prin modificarea valorilor numerice ale parametrilor p și q, puteți vedea alte obiecte pe același grafic; de exemplu, la p = – 0,5; q = 0,4999 în loc de „soare” obțineți o „galaxie spirală”.

Voi prezenta algoritmul pe care l-am compilat pentru construirea fractalilor Mandelbrot „soarele aprins” și „galaxia spirală” în Microsoft Excel. În practică, 100 de iterații sunt suficiente pentru a obține o acuratețe acceptabilă.

Masa1 .

Algoritm pentru construirea fractalului „soarelui arzător” Mandelbrot în Microsoft Excel (pentru 100 de iterații)

Masa2 .

Algoritm pentru construirea fractalului „galaxie spirală” Mandelbrot în Microsoft Excel (pentru 100 de iterații)

Să considerăm fractalul „curba Hilbert” dat de formula (2):

y(X) = (cos 0,5 X⋅ cos 200 X + |X| 0,5 − 0,7)(4 − X 2) 0,01. Să găsim intervalul de valori acceptabile ale acestei expresii. Sub rădăcina pătrată aritmetică se află funcția cos(x), ceea ce înseamnă cos(x) ≥ 0.

Voi prezenta algoritmul pe care l-am compilat pentru construirea unui fractal „curba Hilbert” în programul Microsoft Excel folosind această formulă (2) în intervalul de valori permis, alegând un pas egal cu 0,01.

Masa3 .

Algoritm pentru construirea fractalului „curba Hilbert” în Microsoft Excel

Să considerăm fractalul Mandelbrot „Curba Dragon”, definit de sistemele de ecuații (3) și respectiv (4):

Mai întâi setăm X n = 0; Y n = 0. Setăm aleatoriu parametrul m, care variază de la 0 la 1. Dacă m > 0,5, atunci folosim sistemul de ecuații (3) pentru a construi fractalul, în caz contrar - (4). Fiecare valoare nouă se obține din cea anterioară în funcție de un număr aleatoriu.

Voi prezenta algoritmul pe care l-am compilat pentru construirea fractalului „Dragon curve” Mandelbrot în Microsoft Excel.

Masa4 .

Algoritm pentru construirea fractalului „Dragon curve” Mandelbrot în Microsoft Excel

Concluzie

Calculatorul poate fi caracterizat ca un nou mijloc de cunoaștere. Datorită lui, putem vedea conexiuni și semnificații care ne-au fost ascunse până acum.

În timp ce făceam cercetări, m-am convins că domeniul de aplicare al fractalilor este extrem de larg. Ajutorul lor este necesar, de exemplu, atunci când este necesar să se definească linii și suprafețe de forme foarte complexe folosind mai mulți coeficienți.

Putem spune că de fapt a fost găsită o modalitate de reprezentare ușoară și convenabilă a obiectelor complexe non-euclidiene, ale căror imagini sunt similare cu cele naturale.

Fractalii ne permit să privim matematica dintr-o perspectivă complet diferită și să ne deschidem ochii. S-ar părea că calculele obișnuite se fac cu numere obișnuite, dar asta ne oferă rezultate unice, inimitabile, care ne permit să ne simțim creatorii naturii. Fractalii arată clar că matematica este și știința frumuseții.

Bibliografie:

1.Benoit Mandelbrot. „Geometria fractală a naturii”, 1977.

2. Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. M.: Institutul de Cercetări Informatice, 2002. - 656 p.

3.Morozov A.D. Introducere în teoria fractalilor. Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2002. - 160 p.

4.Despre fractali. [Resursă electronică] - Mod de acces. - URL: http://elementy.ru/posters/fractals

5. Pererva L.M., Yudin V.V. P 27 Modelare fractală: manual / editat de. ed. V.N. Gryanika. Vladivostok: Editura VGUES, 2007. - 186 p.

Cele mai ingenioase descoperiri din știință pot schimba radical viața umană. Vaccinul inventat poate salva milioane de oameni; crearea de arme, dimpotrivă, elimină aceste vieți. Mai recent (la scara evoluției umane) am învățat să „îmblânzim” electricitatea – iar acum nu ne putem imagina viața fără toate aceste dispozitive convenabile care folosesc electricitate. Există însă și descoperiri cărora puțini oameni le acordă importanță, deși ne influențează foarte mult și viața.

Una dintre aceste descoperiri „nevidențiate” sunt fractalii. Probabil ați mai auzit acest cuvânt captivant, dar știți ce înseamnă și câte informații interesante se ascund în acest termen?

Fiecare persoană are o curiozitate firească, o dorință de a înțelege lumea din jurul său. Și în acest demers, o persoană încearcă să adere la logica în judecăți. Analizând procesele care au loc în jurul lui, el încearcă să găsească logica a ceea ce se întâmplă și să derive un model. Cele mai mari minți de pe planetă sunt ocupate cu această sarcină. În linii mari, oamenii de știință caută un model în care să nu existe. Cu toate acestea, chiar și în haos este posibil să găsim conexiuni între evenimente. Și această conexiune este un fractal.

Fiica noastră mică, în vârstă de patru ani și jumătate, este acum la acea vârstă minunată când numărul întrebărilor „De ce?” de multe ori depaseste numarul de raspunsuri pe care adultii reusesc sa le dea. Nu cu mult timp în urmă, în timp ce examina o creangă ridicată din pământ, fiica mea a observat brusc că această creangă, cu crengile și crengile ei, arăta ea însăși ca un copac. Și, bineînțeles, a urmat întrebarea obișnuită „De ce?”, la care părinții trebuiau să caute o explicație simplă pe care copilul să o poată înțelege.

Asemănarea unei singure ramuri cu un copac întreg descoperit de un copil este o observație foarte precisă, care mărturisește încă o dată principiul auto-asemănării recursive în natură. Multe forme organice și anorganice din natură se formează într-un mod similar. Norii, scoici de mare, „casa” unui melc, scoarța și coroana copacilor, sistemul circulator și așa mai departe - formele aleatorii ale tuturor acestor obiecte pot fi descrise printr-un algoritm fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: părintele geometriei fractale

Cuvântul „fractal” însuși a apărut datorită genialului om de știință Benoit B. Mandelbrot.

El însuși a inventat termenul în anii 1970, împrumutând cuvântul fractus din latină, unde literalmente înseamnă „rupt” sau „zdrobit”. Ce este? Astăzi, cuvântul „fractal” înseamnă cel mai adesea o reprezentare grafică a unei structuri care, la o scară mai mare, este similară cu ea însăși.

Baza matematică pentru apariția teoriei fractalilor a fost pusă cu mulți ani înainte de nașterea lui Benoit Mandelbrot, dar s-a putut dezvolta doar odată cu apariția dispozitivelor de calcul. La începutul carierei sale științifice, Benoit a lucrat la centrul de cercetare IBM. La acea vreme, angajații centrului lucrau la transmiterea datelor la distanță. În timpul cercetării, oamenii de știință s-au confruntat cu problema pierderilor mari rezultate din interferența zgomotului. Benoit a avut o sarcină dificilă și foarte importantă - să înțeleagă cum să prezică apariția interferențelor de zgomot în circuitele electronice atunci când metoda statistică se dovedește a fi ineficientă.

Privind rezultatele măsurătorilor de zgomot, Mandelbrot a observat un model ciudat - graficele de zgomot la diferite scale arătau la fel. Un model identic a fost observat, indiferent dacă a fost un grafic de zgomot pentru o zi, o săptămână sau o oră. A fost necesar să se schimbe scara graficului, iar imaginea s-a repetat de fiecare dată.

În timpul vieții sale, Benoit Mandelbrot a spus în repetate rânduri că nu a studiat formule, ci pur și simplu s-a jucat cu imagini. Acest om a gândit foarte figurat și a tradus orice problemă algebrică în domeniul geometriei, unde, potrivit lui, răspunsul corect este întotdeauna evident.

Nu este de mirare că un om cu o imaginație spațială atât de bogată a devenit părintele geometriei fractale. La urma urmei, conștientizarea esenței fractalilor vine tocmai atunci când începi să studiezi desenele și să te gândești la semnificația tiparelor de vârtej ciudate.

Un model fractal nu are elemente identice, dar este similar pe orice scară. Anterior, era pur și simplu imposibil să construiești manual o astfel de imagine cu un grad ridicat de detaliu; acest lucru necesita o cantitate imensă de calcule. De exemplu, matematicianul francez Pierre Joseph Louis Fatou a descris acest set cu mai bine de șaptezeci de ani înainte de descoperirea lui Benoit Mandelbrot. Dacă vorbim despre principiile auto-asemănării, acestea au fost menționate în lucrările lui Leibniz și Georg Cantor.

Unul dintre primele desene fractale a fost o interpretare grafică a setului Mandelbrot, care a luat naștere datorită cercetărilor lui Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (purtând întotdeauna o mască - rănire din Primul Război Mondial)

Acest matematician francez s-a întrebat cum ar arăta un set dacă ar fi construit dintr-o formulă simplă iterată printr-o buclă de feedback. Dacă o explicăm „pe degetele noastre”, aceasta înseamnă că pentru un anumit număr găsim o nouă valoare folosind formula, după care o înlocuim din nou în formulă și obținem o altă valoare. Rezultatul este o succesiune mare de numere.

Pentru a obține o imagine completă a unui astfel de set, trebuie să faceți un număr mare de calcule - sute, mii, milioane. Pur și simplu era imposibil să faci asta manual. Dar când matematicieni au devenit disponibile dispozitive de calcul puternice, aceștia au putut să arunce o privire nouă asupra formulelor și expresiilor care au fost de multă vreme de interes. Mandelbrot a fost primul care a folosit un computer pentru a calcula un fractal clasic. După procesarea unei secvențe formate dintr-un număr mare de valori, Benoit a trasat rezultatele pe un grafic. Asta a primit.

Ulterior, această imagine a fost colorată (de exemplu, una dintre metodele de colorare este după numărul de iterații) și a devenit una dintre cele mai populare imagini create vreodată de om.

După cum spune vechea zicală atribuită lui Heraclit din Efes: „Nu poți păși în același râu de două ori”. Este perfect potrivit pentru interpretarea geometriei fractalilor. Indiferent cât de detaliat ne uităm la o imagine fractală, vom vedea întotdeauna un model similar.

Cei care doresc să vadă cum ar arăta o imagine a spațiului Mandelbrot atunci când au mărit de mai multe ori pot face acest lucru descărcând GIF-ul animat.

⇡ Lauren Carpenter: artă creată de natură

Teoria fractalilor și-a găsit curând aplicație practică. Deoarece este strâns legată de vizualizarea imaginilor auto-similare, nu este de mirare că primii care au adoptat algoritmi și principii pentru construirea formelor neobișnuite au fost artiștii.

Viitorul co-fondator al legendarului studio Pixar, Loren C. Carpenter, a început să lucreze în 1967 la Boeing Computer Services, care era una dintre diviziile celebrei corporații care dezvolta aeronave noi.

În 1977, a creat prezentări cu prototipuri de modele zburătoare. Responsabilitățile lui Loren au inclus dezvoltarea de imagini ale aeronavei proiectate. A trebuit să creeze imagini cu modele noi, arătând viitoarele avioane din diferite unghiuri. La un moment dat, viitorul fondator al Pixar Animation Studios a venit cu ideea creativă de a folosi o imagine a munților ca fundal. Astăzi, orice școlar poate rezolva o astfel de problemă, dar la sfârșitul anilor șaptezeci ai secolului trecut, computerele nu puteau face față unor calcule atât de complexe - nu existau editori grafici, ca să nu mai vorbim de aplicații pentru grafică 3D. În 1978, Lauren a văzut accidental cartea lui Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Chance and Dimension într-un magazin. Ceea ce i-a atras atenția în această carte a fost că Benoit a oferit o mulțime de exemple de forme fractale în viața reală și a susținut că acestea pot fi descrise printr-o expresie matematică.

Această analogie nu a fost aleasă de matematician întâmplător. Cert este că, de îndată ce și-a publicat cercetările, a trebuit să facă față unui întreg val de critici. Principalul lucru pentru care i-au reproșat colegii a fost inutilitatea teoriei în curs de dezvoltare. „Da”, au spus ei, „acestea sunt poze frumoase, dar nimic mai mult. Teoria fractalilor nu are valoare practică.” Au existat, de asemenea, cei care credeau în general că modelele fractale sunt pur și simplu un produs secundar al muncii „mașinilor diavolești”, care la sfârșitul anilor șaptezeci părea multora a fi ceva prea complex și neexplorat pentru a fi de încredere. Mandelbrot a încercat să găsească aplicații evidente pentru teoria fractală, dar în marea schemă a lucrurilor nu avea nevoie. În următorii 25 de ani, adepții lui Benoit Mandelbrot au dovedit beneficiile enorme ale unei astfel de „curiozități matematice”, iar Lauren Carpenter a fost una dintre primele care a încercat metoda fractală în practică.

După ce a studiat cartea, viitorul animator a studiat serios principiile geometriei fractale și a început să caute o modalitate de a o implementa în grafica computerizată. În doar trei zile de muncă, Lauren a reușit să redea o imagine realistă a sistemului montan pe computerul său. Cu alte cuvinte, a folosit formule pentru a picta un peisaj montan complet recunoscut.

Principiul pe care Lauren l-a folosit pentru a-și atinge scopul a fost foarte simplu. A constat în împărțirea unei figuri geometrice mai mari în elemente mici, iar acestea, la rândul lor, au fost împărțite în figuri similare de dimensiuni mai mici.

Folosind triunghiuri mai mari, Carpenter le-a împărțit în patru mai mici și apoi a repetat acest proces iar și iar până când a obținut un peisaj montan realist. Astfel, a reușit să devină primul artist care a folosit un algoritm fractal pentru construirea de imagini în grafica computerizată. De îndată ce cuvântul despre lucrare a devenit cunoscut, entuziaștii din întreaga lume au preluat ideea și au început să folosească algoritmul fractal pentru a imita forme naturale realiste.

Una dintre primele vizualizări 3D folosind un algoritm fractal

Doar câțiva ani mai târziu, Lauren Carpenter a putut să-și aplice evoluțiile într-un proiect mult mai amplu. Animatorul a creat un demo de două minute de Vol Libre de la ei, care a fost afișat pe Siggraph în 1980. Acest videoclip a șocat pe toți cei care l-au văzut, iar Lauren a primit o invitație de la Lucasfilm.

Animația a fost redată pe un computer VAX-11/780 de la Digital Equipment Corporation cu o viteză de ceas de cinci megaherți, iar randarea a durat aproximativ o jumătate de oră pentru fiecare cadru.

Lucrând pentru Lucasfilm Limited, animatorul a creat peisaje 3D folosind aceeași schemă pentru al doilea lungmetraj din saga Star Trek. În The Wrath of Khan, Carpenter a reușit să creeze o întreagă planetă folosind același principiu de modelare a suprafeței fractale.

În prezent, toate aplicațiile populare pentru crearea de peisaje 3D folosesc un principiu similar pentru generarea de obiecte naturale. Terragen, Bryce, Vue și alți editori 3D se bazează pe un algoritm fractal pentru modelarea suprafețelor și texturilor.

⇡ Antene fractale: mai puțin înseamnă mai mult

În ultima jumătate de secol, viața a început să se schimbe rapid. Majoritatea dintre noi considerăm progresele tehnologiei moderne de la sine înțeles. Te obișnuiești foarte repede cu tot ceea ce face viața mai confortabilă. Rareori cineva pune întrebările „De unde a venit asta?” și „Cum funcționează?” Un cuptor cu microunde încălzește micul dejun - grozav, un smartphone vă oferă posibilitatea de a vorbi cu o altă persoană - grozav. Aceasta ni se pare o posibilitate evidentă.

Dar viața ar fi putut fi complet diferită dacă o persoană nu ar fi căutat o explicație pentru evenimentele care au loc. Luați telefoanele mobile, de exemplu. Îți amintești de antenele retractabile de pe primele modele? Au intervenit, au mărit dimensiunea dispozitivului și, în cele din urmă, s-au rupt adesea. Credem că s-au scufundat în uitare pentru totdeauna și o parte din motivul acestui lucru sunt... fractalii.

Modelele fractale fascinează cu modelele lor. Cu siguranță seamănă cu imagini ale obiectelor cosmice - nebuloase, grupuri de galaxii și așa mai departe. Prin urmare, este destul de firesc ca atunci când Mandelbrot și-a exprimat teoria fractalilor, cercetările sale au trezit un interes sporit în rândul celor care au studiat astronomia. Unul dintre acești amatori pe nume Nathan Cohen, după ce a participat la o prelegere a lui Benoit Mandelbrot la Budapesta, a fost inspirat de ideea aplicării practice a cunoștințelor dobândite. Adevărat, a făcut acest lucru intuitiv, iar întâmplarea a jucat un rol important în descoperirea sa. Ca radioamator, Nathan a căutat să creeze o antenă cu cea mai mare sensibilitate posibilă.

Singura modalitate de a îmbunătăți parametrii antenei, care era cunoscută la acea vreme, era creșterea dimensiunilor geometrice ale acesteia. Cu toate acestea, proprietarul proprietății din centrul orașului Boston pe care Nathan a închiriat-o era categoric împotriva instalării de dispozitive mari pe acoperiș. Apoi Nathan a început să experimenteze cu diferite forme de antene, încercând să obțină rezultatul maxim cu dimensiunea minimă. Inspirat de ideea formelor fractale, Cohen, după cum se spune, a făcut aleatoriu unul dintre cei mai faimoși fractali din sârmă - „fulgul de zăpadă Koch”. Matematicianul suedez Helge von Koch a venit cu această curbă în 1904. Se obține prin împărțirea unui segment în trei părți și înlocuirea segmentului din mijloc cu un triunghi echilateral fără ca o latură să coincidă cu acest segment. Definiția este puțin greu de înțeles, dar în figură totul este clar și simplu.

Există și alte variații ale curbei Koch, dar forma aproximativă a curbei rămâne similară

Când Nathan a conectat antena la receptorul radio, a fost foarte surprins - sensibilitatea a crescut dramatic. După o serie de experimente, viitorul profesor de la Universitatea din Boston și-a dat seama că o antenă realizată după un model fractal are o eficiență ridicată și acoperă o gamă de frecvență mult mai largă în comparație cu soluțiile clasice. În plus, forma antenei sub forma unei curbe fractale face posibilă reducerea semnificativă a dimensiunilor geometrice. Nathan Cohen a venit chiar cu o teoremă care să demonstreze că pentru a crea o antenă de bandă largă, este suficient să-i dea forma unei curbe fractale auto-similare.

Autorul și-a brevetat descoperirea și a fondat o companie de dezvoltare și proiectare a antenelor fractale Fractal Antenna Systems, crezând pe bună dreptate că în viitor, datorită descoperirii sale, telefoanele mobile vor putea scăpa de antenele voluminoase și vor deveni mai compacte.

În principiu, asta s-a întâmplat. Adevărat, până astăzi Nathan este angajat într-o bătălie juridică cu mari corporații care folosesc ilegal descoperirea sa pentru a produce dispozitive de comunicații compacte. Unii producători cunoscuți de dispozitive mobile, precum Motorola, au ajuns deja la un acord amiabil cu inventatorul antenei fractale.

⇡ Dimensiuni fractale: nu poți înțelege cu mintea ta

Benoit a împrumutat această întrebare de la celebrul om de știință american Edward Kasner.

Aceștia din urmă, la fel ca mulți alți matematicieni celebri, îi plăcea să comunice cu copiii, punându-le întrebări și primind răspunsuri neașteptate. Uneori, acest lucru a dus la consecințe surprinzătoare. De exemplu, nepotul de nouă ani al lui Edward Kasner a venit cu cuvântul acum binecunoscut „googol”, adică unul urmat de o sută de zerouri. Dar să revenim la fractali. Matematicianului american îi plăcea să pună întrebarea cât de lungă este coasta SUA. După ce a ascultat părerea interlocutorului său, Edward însuși a rostit răspunsul corect. Dacă măsurați lungimea pe o hartă folosind segmente rupte, rezultatul va fi inexact, deoarece linia de coastă are un număr mare de nereguli. Ce se întâmplă dacă măsurăm cât mai precis posibil? Va trebui să țineți cont de lungimea fiecărei denivelări - va trebui să măsurați fiecare pelerină, fiecare golf, stâncă, lungimea unei margini stâncoase, o piatră pe ea, un grăunte de nisip, un atom și așa mai departe. Deoarece numărul de nereguli tinde spre infinit, lungimea măsurată a liniei de coastă va crește la infinit atunci când se măsoară fiecare nouă neregulă.

Cu cât măsura este mai mică la măsurare, cu atât lungimea măsurată este mai mare

Interesant, urmând îndemnurile lui Edward, copiii au fost mult mai rapid decât adulții în a spune soluția corectă, în timp ce aceștia din urmă au avut probleme în a accepta un răspuns atât de incredibil.

Folosind această problemă ca exemplu, Mandelbrot a propus utilizarea unei noi abordări a măsurătorilor. Deoarece linia de coastă este aproape de o curbă fractală, înseamnă că i se poate aplica un parametru de caracterizare - așa-numita dimensiune fractală.

Ce este o dimensiune obișnuită este clar pentru oricine. Dacă dimensiunea este egală cu unu, obținem o linie dreaptă, dacă doi - o figură plată, trei - un volum. Cu toate acestea, această înțelegere a dimensiunii în matematică nu funcționează cu curbele fractale, unde acest parametru are o valoare fracțională. Dimensiunea fractală în matematică poate fi considerată convențional ca o „rugurozitate”. Cu cât este mai mare rugozitatea curbei, cu atât dimensiunea sa fractală este mai mare. O curbă care, conform lui Mandelbrot, are o dimensiune fractală mai mare decât dimensiunea sa topologică are o lungime aproximativă care nu depinde de numărul de dimensiuni.

În prezent, oamenii de știință găsesc din ce în ce mai multe domenii pentru a aplica teoria fractalilor. Folosind fractali, puteți analiza fluctuațiile prețurilor bursiere, puteți studia tot felul de procese naturale, cum ar fi fluctuațiile numărului de specii sau puteți simula dinamica fluxurilor. Algoritmii fractali pot fi utilizați pentru compresia datelor, cum ar fi compresia imaginii. Și apropo, pentru a obține un fractal frumos pe ecranul computerului, nu trebuie să aveți un doctorat.

⇡ Fractal în browser

Poate că una dintre cele mai ușoare modalități de a obține un model fractal este să folosești un editor de vectori online de la tânărul talentat programator Toby Schachman. Instrumentele acestui editor grafic simplu se bazează pe același principiu al auto-asemănării.

La dispoziția dumneavoastră există doar două forme simple - un patrulater și un cerc. Le puteți adăuga pe pânză, le puteți scala (pentru a scala de-a lungul uneia dintre axe, țineți apăsată tasta Shift) și le puteți roti. Suprapunându-se după principiul operațiilor de adunare booleană, aceste elemente cele mai simple formează forme noi, mai puțin triviale. Aceste noi forme pot fi apoi adăugate la proiect, iar programul se va repeta generând aceste imagini la infinit. În orice etapă a lucrului la un fractal, puteți reveni la orice componentă a unei forme complexe și puteți edita poziția și geometria acesteia. O activitate distractivă, mai ales când consideri că singurul instrument de care trebuie să-l creezi este un browser. Dacă nu înțelegeți principiul lucrului cu acest editor vectorial recursiv, vă sfătuim să urmăriți videoclipul de pe site-ul oficial al proiectului, care arată în detaliu întregul proces de creare a unui fractal.

⇡ XaoS: fractali pentru toate gusturile

Mulți editori grafici au instrumente încorporate pentru a crea modele fractale. Cu toate acestea, aceste instrumente sunt de obicei secundare și nu permit reglarea fină a modelului fractal generat. În cazurile în care este necesar să se construiască un fractal precis din punct de vedere matematic, editorul multiplatform XaoS va veni în ajutor. Acest program face posibilă nu numai construirea unei imagini auto-similare, ci și efectuarea diferitelor manipulări cu aceasta. De exemplu, în timp real puteți face o „plimbare” de-a lungul unui fractal schimbându-i scara. Mișcarea animată de-a lungul unui fractal poate fi salvată ca fișier XAF și apoi reprodusă în programul însuși.

XaoS poate încărca un set aleatoriu de parametri și poate folosi, de asemenea, diverse filtre de post-procesare a imaginii - adăugați un efect de mișcare neclară, neteziți tranzițiile clare între punctele fractale, simulați o imagine 3D și așa mai departe.

⇡ Fractal Zoomer: generator de fractali compact

În comparație cu alte generatoare de imagini fractale, are mai multe avantaje. În primul rând, are dimensiuni foarte mici și nu necesită instalare. În al doilea rând, implementează capacitatea de a determina paleta de culori a unei imagini. Puteți alege nuanțe în modelele de culoare RGB, CMYK, HVS și HSL.

De asemenea, este foarte convenabil să utilizați opțiunea de selectare aleatorie a nuanțelor de culoare și funcția de inversare a tuturor culorilor din imagine. Pentru a regla culoarea, există o funcție de selecție ciclică a nuanțelor - când porniți modul corespunzător, programul animă imaginea, schimbând ciclic culorile de pe ea.

Fractal Zoomer poate vizualiza 85 de funcții fractale diferite, iar formulele sunt afișate clar în meniul programului. Există filtre pentru post-procesarea imaginii în program, deși în cantități mici. Fiecare filtru alocat poate fi anulat în orice moment.

⇡ Mandelbulb3D: editor fractal 3D

Când este folosit termenul „fractal”, cel mai adesea se referă la o imagine plată, bidimensională. Cu toate acestea, geometria fractală depășește dimensiunea 2D. În natură, puteți găsi atât exemple de forme fractale plate, de exemplu, geometria fulgerului, cât și figuri volumetrice tridimensionale. Suprafețele fractale pot fi tridimensionale și o ilustrare foarte clară a fractalilor 3D în viața de zi cu zi este un cap de varză. Poate că cel mai bun mod de a vedea fractalii este în soiul Romanesco, un hibrid de conopidă și broccoli.

Puteți mânca și acest fractal

Programul Mandelbulb3D poate crea obiecte tridimensionale cu o formă similară. Pentru a obține o suprafață 3D folosind un algoritm fractal, autorii acestei aplicații, Daniel White și Paul Nylander, au convertit setul Mandelbrot în coordonate sferice. Programul Mandelbulb3D pe care l-au creat este un adevărat editor tridimensional care modelează suprafețe fractale de diferite forme. Deoarece observăm adesea modele fractale în natură, un obiect tridimensional fractal creat artificial pare incredibil de realist și chiar „viu”.

Poate să semene cu o plantă, poate să semene cu un animal ciudat, cu o planetă sau cu altceva. Acest efect este îmbunătățit de un algoritm de randare avansat, care face posibilă obținerea de reflexii realiste, calcularea transparenței și umbrelor, simularea efectului adâncimii câmpului și așa mai departe. Mandelbulb3D are un număr mare de setări și opțiuni de randare. Puteți controla nuanțele surselor de lumină, puteți selecta fundalul și nivelul de detaliu al obiectului simulat.

Editorul de fractali Incendia acceptă netezirea dublă a imaginii, conține o bibliotecă de cincizeci de fractali tridimensionali diferiți și are un modul separat pentru editarea formelor de bază.

Aplicația folosește scripting fractal, cu care puteți descrie în mod independent noi tipuri de modele fractale. Incendia are editori de textură și materiale, iar motorul de randare vă permite să utilizați efecte de ceață volumetrică și diverse shadere. Programul implementează opțiunea de salvare a unui buffer în timpul redării pe termen lung și sprijină crearea de animație.

Incendia vă permite să exportați un model fractal în formate populare de grafică 3D - OBJ și STL. Incendia include un mic utilitar numit Geometrica, un instrument special pentru configurarea exportului unei suprafețe fractale la un model 3D. Folosind acest utilitar, puteți determina rezoluția unei suprafețe 3D și puteți specifica numărul de iterații fractale. Modelele exportate pot fi folosite în proiecte 3D atunci când lucrați cu editori 3D, cum ar fi Blender, 3ds max și altele.

Recent, lucrările la proiectul Incendia au încetinit oarecum. În acest moment, autorul caută sponsori care să-l ajute să dezvolte programul.

Dacă nu aveți suficientă imaginație pentru a desena un frumos fractal tridimensional în acest program, nu contează. Utilizați biblioteca de parametri, care se află în folderul INCENDIA_EX\parameters. Folosind fișierele PAR, puteți găsi rapid cele mai neobișnuite forme fractale, inclusiv cele animate.

⇡ Aural: cum cântă fractalii

De obicei, nu vorbim despre proiecte la care tocmai se lucrează, dar în acest caz trebuie să facem o excepție, deoarece aceasta este o aplicație foarte neobișnuită. Proiectul, numit Aural, a fost inventat de aceeași persoană care a creat Incendia. Totuși, de data aceasta programul nu vizualizează setul fractal, ci îl sună, transformându-l în muzică electronică. Ideea este foarte interesantă, mai ales având în vedere proprietățile neobișnuite ale fractalilor. Aural este un editor audio care generează melodii folosind algoritmi fractali, adică, în esență, este un sintetizator-sequencer audio.

Secvența de sunete produse de acest program este neobișnuită și... frumoasă. Poate fi util pentru scrierea de ritmuri moderne și, ni se pare, este deosebit de potrivit pentru crearea de coloane sonore pentru screensaverele programelor de televiziune și radio, precum și „bucle” de muzică de fundal pentru jocurile pe calculator. Ramiro nu a oferit încă o demonstrație a programului său, dar promite că atunci când o va face, pentru a lucra cu Aural, nu va trebui să studiați teoria fractală - va trebui doar să vă jucați cu parametrii algoritmului pentru generarea unei secvențe. de note. Ascultă cum sună fractalii și.

Fractali: pauză muzicală

De fapt, fractalii vă pot ajuta să scrieți muzică chiar și fără software. Dar acest lucru poate fi făcut doar de cineva care este cu adevărat impregnat de ideea de armonie naturală și care nu s-a transformat într-un „tocilar” nefericit. Este logic să luăm un exemplu de la un muzician pe nume Jonathan Coulton, care, printre altele, scrie compoziții pentru revista Popular Science. Și, spre deosebire de alți interpreți, Colton își publică toate lucrările sub o licență Creative Commons Atribuire-Necomerciale, care (atunci când este utilizată în scopuri necomerciale) asigură copierea, distribuirea, transferul lucrării către alții, precum și modificarea acesteia ( crearea de lucrări derivate) astfel încât să-l adaptezi sarcinilor tale.

Jonathan Colton, desigur, are un cântec despre fractali.

⇡ Concluzie

În tot ceea ce ne înconjoară, vedem adesea haos, dar de fapt acesta nu este un accident, ci o formă ideală, pe care fractalii ne ajută să o discernem. Natura este cel mai bun arhitect, constructor și inginer ideal. Este structurat foarte logic și, dacă nu vedem un model undeva, aceasta înseamnă că trebuie să-l căutăm la o scară diferită. Oamenii înțeleg acest lucru din ce în ce mai bine, încercând să imite formele naturale în multe feluri. Inginerii proiectează sisteme de difuzoare în formă de coajă, creează antene în formă de fulgi de zăpadă și așa mai departe. Suntem siguri că fractalii conțin încă multe secrete și multe dintre ele nu au fost încă descoperite de oameni.

Acestea sunt obiecte matematice abstracte care au proprietatea autoasemănarea. Adică, părțile fractalului sunt similare cu fractalul însuși, iar părțile acestor părți sunt similare părților etc. Acest lucru este clar vizibil în această animație. Mărind zoom-ul, vedem din nou structuri similare.

Totuși, se pune întrebarea - Cât de universale sunt modelele matematice fractale atunci când sunt aplicate în lumea reală?În unele cazuri sunt aplicabile. De exemplu, atunci când descriem coastele maritime foarte indentate, prin mărirea în mod repetat a imaginilor unor astfel de coaste obținute din Spațiu, vom obține structuri mai mici, asemănătoare celor mari. Dar, Este Lumea ca un întreg fractal? Adică, mergând mai adânc în microlume și uitându-ne la scarile din ce în ce mai mari ale megalumii, vom vedea structuri similare? Desigur, ar fi mai simplu așa - nu este nevoie să descoperiți sau să inventați ceva nou, totul este construit la fel: planetele se învârt în jurul stelelor, sateliții se învârt în jurul planetelor, electronii se învârt în jurul nucleelor. Continuând mai departe, putem presupune că electronii, protonii și neutronii sunt, de asemenea, sisteme în care există un corp central și corpuri mai mici care se rotesc în jurul lui.

Cu toate acestea, acest lucru ar fi foarte plictisitor- să văd același lucru peste tot. Nicio noutate fundamentală... Este puțin probabil ca Natura să fie atât de plictisitoare și monotonă! Toată experiența noastră sugerează că nu există doar asemănări, ci și diferențe chiar și între cele mai înrudite obiecte (de exemplu, între cristale din aceeași drusă, între fulgi de nea, între gemeni etc.). Desigur, în Natură există legi universale, la descoperirea căreia se străduiește mintea cunoscătoare (acesta este scopul ei principal și cel mai mare; se stabilește direct filozofie, ca culme al activității cognitive umane). Prin urmare, există ceva comun și asemănător la toate nivelurile de organizare a materiei: de la particule elementare la psihic, conștiință și societate. In orice caz, forme de manifestare legile universale la diferite niveluri de organizare a materiei și în diferitele sale părți sunt diferite. Prin urmare, privim diferit structuri din diferite părți ale lumii și la diferitele sale niveluri, deși supuse acelorași legi (care sunt departe de a fi descoperite pe deplin de noi).

Îmi propun să discutăm acest subiect interesant, mai ales că a fost deja abordat de respectatul nostru Solaris în seria sa de povești științifico-fantastice. „Universul lui Inga Auleng” . În ele, autorul exprimă ideea că Universul este ca o celulă a unui organism multicelular, iar alte universuri sunt alte celule ale acestui organism. O altă idee Solaris este că un singur proton este ca întregul Univers. Toate acestea nu sunt altceva decât idei despre fractalitatea Lumii.

Videoclipul pe care l-am menționat mai sus (cu muzică bine aleasă!) trezește un sentiment interesant de pătrundere în profunzimile „materiei”, a propriei reduceri în același timp. După cum a spus remarcabilul fizician Richard Feynman în 1959, anticipând dezvoltarea nanotehnologiei, „ este mult spațiu acolo jos" Și o simți fizic când vezi acest videoclip.
Dar, cel mai important, te pune pe gânduri întrebări fundamentale despre legătura dintre macro-, micro- și mega-lumi. Ce se întâmplă dacă ne strângem brusc dramatic? Macrolumea cu care suntem obișnuiți, cu problemele și absurditățile ei, merge undeva în lateral, în regiunea megalumii. Și, în același timp, procesele, dimensiunile, timpii și energiile sale își pierd sensul pentru noi. Parcă nu mai sunt acolo pentru noi. În acel nou microcosmos în care ne „mișcăm”, apar propriile noastre scări de spațiu, timp și energie. Viața noastră în ea va fi doar un moment pentru creaturile care rămân în fosta noastră macrolume, dimensiunea noastră va depăși limitele vizibilității pentru ele chiar și în cele mai puternice microscoape, iar energiile noastre vor fi... (care? mai mult? Mai puțin?). Prin urmare, pentru acea lume, atât noi cât și ea vom fi mistere abia perceptibile pentru noi, având o influență dispărută de mică unul asupra celuilalt.
Sau poate e invers? Și micro-, macro- și mega-lumile sunt într-un fel strâns legate între ele și se influențează semnificativ reciproc, în ciuda diferenței radicale de scară? Cel puțin prin aceleași legi universale despre care am vorbit mai sus.
Acest videoclip interesant te face să te gândești la toate acestea.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse

Subiect: Fractali- specialobiecteîn viaţăȘineviipace

Khabarovsk TOGU 2015

• Cuprins
• grafică fractală geometrică fractală
• Istoria fractalilor
• Clasificarea fractalilor
• Fractali geometrici
• Fractali algebrici
• Aplicarea fractalilor
• Fractali și lumea din jurul nostru
• Grafică fractală
• Aplicarea fractalilor
• Stiintele Naturii
• Inginerie radio
• Informatică
• Economie și finanțe

Istoria fractalilor

Foarte des întâlnim obiecte speciale, dar puțini oameni știu că acestea sunt fractali. Fractalii sunt obiecte unice generate de mișcările imprevizibile ale lumii haotice. Ele se găsesc atât în ​​obiecte mici, cum ar fi membrana celulară, cât și în cele mari, precum Sistemul Solar și Galaxia. În viața de zi cu zi, putem vedea fractali în tapet, pe țesătură, pe un screensaver de pe desktop pe un computer și în natură - acestea sunt plante, animale marine și fenomene naturale.

Oamenii de știință au fost fascinați de fractali încă din cele mai vechi timpuri, iar programatorii și specialiștii în grafică pe computer iubesc, de asemenea, aceste obiecte. Descoperirea fractalilor a fost o revoluție în percepția umană asupra lumii și descoperirea unei noi estetici a artei și științei.

Deci, ce sunt fractalii? Fractal- o figură geometrică care are proprietatea auto-asemănării, adică compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară întregii figuri în ansamblu.

Termenul de fractal a fost propus în 1975. Benoit Mandelbrot să desemneze structurile neregulate, auto-asemănătoare de care era preocupat. Nașterea geometriei fractale este publicarea cărții sale „The Fractal Geometry of Nature” în 1977. Lucrările sale s-au bazat pe lucrările oamenilor de știință Poincaré, Fatou, Julia, Cantor și Hausdorff, care au lucrat în 1875? 1925 în aceeași zonă. Dar abia pe vremea noastră au putut să-și combine munca într-un singur sistem.

Conceptul de „fractal” este derivat din latinescul „fractus”? format din fragmente. Una dintre definiții este: „Un fractal este o structură formată din părți care, într-un anumit sens, sunt similare cu întregul”.

Benoit Mandelbrot a dat în lucrările sale exemple vii de utilizare a fractalilor pentru a explica unele fenomene naturale. A acordat mare atenție unei proprietăți interesante pe care o au mulți fractali. Faptul este că adesea un fractal poate fi împărțit în părți arbitrar mici, astfel încât fiecare parte se dovedește a fi pur și simplu o copie redusă a întregului. Cu alte cuvinte, dacă privim un fractal printr-un microscop, vom fi surprinși să vedem aceeași imagine ca și fără microscop. Această proprietate a auto-asemănării distinge puternic fractalii de obiectele de geometrie clasică.

Pentru oamenii de știință moderni, studiază fractalii? nu doar o nouă zonă de cunoaștere. Aceasta este descoperirea unui nou tip de geometrie care descrie lumea din jurul nostru și care poate fi văzută nu numai în manuale, ci și în natură și în Universul nemărginit. Acum, Mandelbrot și alți oameni de știință au extins domeniul geometriei fractale, astfel încât să poată fi aplicat la aproape orice lucru din lume, de la prezicerea prețurilor bursiere până la realizarea de noi descoperiri în fizica teoretică.

Clasificarea fractalilor

Există diferite clasificări ale fractalilor.

Principala clasificare a fractalilor este împărțirea în geometrice și algebrice.

Fractalii geometrici au auto-asemănări exacte, iar fractalii algebrici au auto-asemănări aproximative.

Există, de asemenea, o împărțire în fractali naturali și artificiali.

Fractalii artificiali îi includ pe cei care au fost inventați de oameni de știință; au proprietăți fractale la orice scară. Fractalii naturali sunt supuși unei limitări a zonei de existență - adică dimensiunea maximă și minimă la care un obiect prezintă proprietăți fractale.

Cei mai simpli fractali sunt fractali geometrici.

Fractali geometrici

Fractalii geometrici sunt numiți și clasici, determiniști sau liniari. Sunt cele mai vizuale, deoarece au așa-numita auto-asemănare rigidă, care nu se schimbă atunci când scara se schimbă. Aceasta înseamnă că, indiferent cât de aproape ai mări pe fractal, vei vedea în continuare același model.

În cazul bidimensional, astfel de fractali pot fi obținuți prin specificarea unei linii întrerupte numită generator. Într-un pas al algoritmului, fiecare dintre segmentele unei polilinii date (inițiator) este înlocuit cu o polilinie generatoare la scara corespunzătoare. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri, se obține o curbă fractală. În ciuda complexității aparente a acestei curbe, forma ei este determinată doar de forma generatorului.

Cei mai faimoși fractali geometrici: curba Koch, curba Minkowski, curba Levy, curba dragonului, șervețelul și covorul Sierpinski, pentagonul Durer.

Construirea unor fractali geometrici

1). curba Koch.

A fost inventat în 1904 de un matematician german pe nume Helge von Koch. Pentru a-l construi, se ia un singur segment, împărțit în trei părți egale, iar legătura din mijloc este înlocuită cu un triunghi echilateral fără această legătură. În pasul următor, repetăm ​​operația pentru fiecare dintre cele patru segmente rezultate. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri, se obține o curbă fractală.

2). șervețelul lui Sierpinski.

În 1915, matematicianul polonez Waclaw Sierpinski a venit cu un obiect interesant. Pentru a-l construi, luați un triunghi echilateral solid. În primul pas, un triunghi echilateral inversat este îndepărtat din centru. Al doilea pas elimină trei triunghiuri inversate din cele trei triunghiuri rămase și așa mai departe. Conform teoriei, acest proces nu va avea un sfârșit și nu va mai rămâne spațiu de locuit în triunghi, dar nici acesta nu se va destrăma - rezultatul va fi un obiect format din doar găuri.

3). Dragonul lui Harter-Hathway.

Dragonul lui Harter, cunoscut și sub numele de dragonul Harter-Haithaway, a fost studiat pentru prima dată de fizicienii NASA? John Haithway, William Harter și Bruce Banks. A fost descrisă în 1967 de Martin Gardner în rubrica „Mathematical Games” a Scientific American.

În pasul următor, fiecare dintre segmentele de dreaptă este înlocuită cu două segmente care formează laturile laterale ale unui triunghi dreptunghic isoscel, pentru care segmentul inițial ar fi ipotenuza. Drept urmare, segmentul pare să se îndoaie în unghi drept. Direcția de deviere alternează. Primul segment se îndoaie la dreapta (pe măsură ce se mișcă de la stânga la dreapta), al doilea - la stânga, al treilea - din nou la dreapta etc.

Exemple de fractali geometrici

CurbaKochŞerveţelSierpinski

DragonulHarter-Hathaway

Al doilea grup mare de fractali sunt algebrici. Și-au primit numele pentru că sunt construite pe baza unor formule algebrice.

Fractali algebrici

Fractali complexe (algebrici) nu pot fi creați fără ajutorul unui computer. Pentru a obține rezultate pline de culoare, acest computer trebuie să aibă un coprocesor matematic puternic și un monitor de înaltă rezoluție. Și-au primit numele pentru că sunt construite pe baza unor formule algebrice. Ca rezultat al procesării matematice a acestei formule, pe ecran este afișat un punct de o anumită culoare. Rezultatul este o figură ciudată în care liniile drepte se transformă în curbe, iar efectele de auto-similare apar la diferite niveluri de scară, deși nu fără deformații. Aproape fiecare punct de pe ecranul unui computer este ca un fractal separat.

Cei mai faimoși fractali algebrici: mulțimile Mandelbrot și Julia, bazinele Newton.

Fractalii algebrici au auto-asemănări aproximative. De fapt, dacă măriți o zonă mică a oricărui fractal complex și apoi faceți același lucru pe o mică parte a acelei zone, cele două măriri vor fi semnificativ diferite una de cealaltă. Cele două imagini vor fi foarte asemănătoare în detaliu, dar nu vor fi complet identice.

ALGEBRIC fractale

Mandelbrot a stabilit aproximații

Fractalii găsesc din ce în ce mai multe aplicații în știință. Motivul principal este că ei descriu lumea reală mai bine decât fizica și matematica tradițională.

Aplicarea fractalilor

1). Teoria haosului: Fractalii sunt întotdeauna asociați cu cuvântul haos. Teoria haosului este definită ca studiul sistemelor dinamice neliniare complexe. Haosul este absența predictibilității. Apare în sistemele dinamice când, pentru două valori inițiale foarte apropiate, sistemul se comportă complet diferit. Un exemplu de sistem dinamic haotic este vremea. Exemple de astfel de sisteme sunt fluxurile turbulente, populațiile biologice, societatea și subsistemele acesteia: sisteme economice, politice și alte sisteme sociale. Unul dintre conceptele centrale ale acestei teorii este imposibilitatea de a prezice cu exactitate starea unui sistem. Teoria haosului se concentrează nu pe dezordinea unui sistem (imprevizibilitatea ereditară a sistemului), ci pe ordinea pe care o moștenește (comportamentul comun al sistemelor similare). Astfel, știința haosului este un sistem de idei despre diverse forme de ordine, în care aleatorietatea devine principiul organizator.

2). Economie: analiza pietei valorilor mobiliare.

3). Astrofizică: descrierea proceselor de grupare a galaxiilor din Univers.

4). Geologie: studiu de rugozitate minerală;

5). Cartografie: studiul formelor litoralului; studiul unei rețele extinse de canale fluviale.

6). Mecanica lichidelor și gazelor, fizica suprafețelor:

- dinamica si turbulenta fluxurilor complexe.

- modelarea flăcărilor;

7). Biologie și medicină:

- modelarea populaţiilor de animale şi a migraţiei păsărilor;

- modelarea epidemiilor;

- analiza structurii sistemului circulator;

- luarea în considerare a suprafețelor complexe ale membranelor celulare;

- descrierea proceselor din interiorul corpului, de exemplu, bătăile inimii.

8). Antene fractale: Utilizarea geometriei fractale în proiectarea dispozitivelor de antenă a fost folosită pentru prima dată de inginerul american Nathan Cohen, care locuia atunci în centrul orașului Boston, unde era interzisă instalarea de antene externe pe clădiri. A decupat o formă de curbă Koch din folie de aluminiu și a lipit-o pe o bucată de hârtie, apoi a atașat-o la receptor. S-a dovedit că o astfel de antenă nu funcționează mai rău decât una obișnuită. Și deși principiile fizice de funcționare a unei astfel de antene nu au fost încă studiate, acest lucru nu l-a împiedicat pe Cohen să-și întemeieze propria companie și să lanseze producția lor în serie.

9). Comprimarea imaginii: avantajele algoritmilor de compresie a imaginilor fractale sunt o dimensiune foarte mică a fișierului și un timp scurt de recuperare a imaginii. Un alt avantaj al compresiei fractale este că atunci când imaginea este mărită, nu există nici un efect de pixelare (mărește dimensiunea punctelor până la dimensiuni care distorsionează imaginea). Cu compresia fractală, după mărire, imaginea arată adesea chiar mai bine decât înainte.

10). Grafica computerizată: Grafica computerizată trece astăzi printr-o perioadă de dezvoltare intensă. Ea a reușit să recreeze o varietate nesfârșită de forme fractale și peisaje pe ecranul monitorului, cufundând privitorul într-un spațiu virtual uimitor. În zilele noastre, cu ajutorul unor algoritmi relativ simpli, a devenit posibil să se creeze imagini tridimensionale cu peisaje și forme fantastice care pot fi transformate în timp în imagini și mai interesante. Tendința fractalilor de a semăna cu munți, flori și copaci este exploatată de unii editori grafici (de exemplu, nori fractali din studioul 3D MAX, munți fractali în World Builder). Modelele fractale sunt utilizate pe scară largă astăzi în jocurile pe calculator, creând în ele un mediu greu de distins de realitate.

Sfârșitul secolului al XX-lea a fost marcat nu numai de descoperirea unor structuri uimitor de frumoase și infinit de diverse numite fractali, ci și de conștientizarea naturii fractale a naturii. Lumea din jurul nostru este foarte diversă, iar obiectele sale nu se încadrează în cadrul rigid al liniilor și suprafețelor euclidiene.

Fractali și lumea din jurul nostru

« Frumusețea este întotdeauna relativă... Nu ar trebui să presupunem că țărmurile oceanului sunt cu adevărat lipsite de formă doar pentru că forma lor este diferită de forma obișnuită a digurilor pe care le-am construit; forma munților nu poate fi considerată neregulată pe motiv că nu sunt conuri sau piramide regulate; doar pentru că distanțele dintre stele sunt inegale, nu rezultă că acestea au fost împrăștiate pe cer de o mână ineptă. Aceste greșeli există doar în imaginația noastră , de fapt, ele nu sunt astfel și nu interferează în niciun fel cu adevăratele manifestări ale vieții de pe Pământ, nici în regatul plantelor și animalelor, nici în rândul oamenilor.” Aceste cuvinte ale omului de știință englez din secolul al XVII-lea. Richard Bentley indică faptul că ideea de a combina formele coastelor, munților și obiectelor cerești și a le contrasta cu construcțiile euclidiene a apărut în mintea oamenilor de foarte mult timp.

Galileo Galilei spunea că „marea carte a naturii este scrisă în limbajul geometriei”. Acum putem spune cu încredere că este scris în limbajul geometriei fractale.

Ceea ce observăm în natură ne intrigă adesea prin repetarea nesfârșită a aceluiași tipar, crescut sau micșorat de câte ori se dorește. Forme bizare ale liniilor de coastă și curbe complicate ale râurilor, suprafețe sparte ale lanțurilor de munți și contururi de nori, ramuri răspândite de copaci și recife de corali, pâlpâirea timidă a unei lumânări și pâraiele spumoase ale râurilor de munte - toate acestea sunt fractali. Unele dintre ele, precum norii sau pâraiele furtunoase, își schimbă constant forma, altele, precum copacii sau lanțurile muntoase, își mențin structura neschimbată. Comun tuturor tipurilor de structuri fractale este auto-asemănarea lor - principala proprietate care asigură îndeplinirea legii de bază în fractali - legea unității în diversitatea universului.

Sistemele și organele umane sunt, de asemenea, structuri fractale. De exemplu, vasele de sânge se ramifică de mai multe ori, adică. au o natură fractală. Activitatea electrică a inimii este un proces fractal. Cardiologii au descoperit că caracteristicile spectrale ale bătăilor inimii se supun legilor fractale, la fel ca cutremurele și fenomenele economice. În țesuturile tractului digestiv, o suprafață ondulată este încorporată în alta. Plămânii reprezintă, de asemenea, un exemplu de strângere a unei suprafețe mari într-un spațiu mic. De fapt, întreaga structură a corpului uman este de natură fractală; acest lucru a fost deja recunoscut de oamenii de știință. Principiul unui singur simplu, care definește un complex divers, este încorporat în genomul uman, atunci când o celulă a unui organism viu conține informații despre întregul organism ca întreg.

Structuri fractale în natură

Iată câteva exemple de fotografii:

După cum a spus biologul John Haldane, „Lumea nu este doar mai ciudată decât credem, ci și mai ciudată decât ne putem imagina.” Fractalii nu sunt invenții ale lui Mandelbrot. Ele există obiectiv. În forme și procese naturale, în știință și artă, care reflectă și înțeleg această lume. „Pentru că ne-am schimbat viziunea asupra lumii datorită ideilor de geometrie fractală” Benoit Mandelbrot a primit premiul onorific Wolf pentru fizică în 1993.

În prezent, picturile fractale sunt foarte populare. Fac o impresie absolut fantastică. Multe linii subțiri formând un întreg, sau elemente neobișnuite împletite într-o singură imagine. Flashuri de lumină puternică și linii moderate netede. Fractalul pare viu. Arde, strălucește, atrage și nu-ți poți lua ochii de la el, studiind chiar și cele mai mici și nesemnificative detalii.

Grafică fractală

Picturi fractale în interior

Aplicarea fractalilor

Stiintele Naturii

În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi fluxul de fluid turbulent, procesele complexe de difuzie-adsorbție, flăcări, nori și altele asemenea. Fractalii sunt folosiți la modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populațiile și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge). După crearea curbei Koch, s-a propus utilizarea acesteia la calcularea lungimii liniei de coastă.

Inginerie radio

Utilizarea geometriei fractale în proiectarea dispozitivelor de antenă a fost folosită pentru prima dată de inginerul american Nathan Cohen, care locuia atunci în centrul orașului Boston, unde era interzisă instalarea de antene externe pe clădiri. Nathan a decupat o formă de curbă Koch din folie de aluminiu și a lipit-o pe o bucată de hârtie, apoi a atașat-o la receptor. Cohen și-a fondat propria companie și a început producția lor în serie.

Informatică

Comprimarea imaginii

Arbore fractal

Există algoritmi de compresie a imaginilor care folosesc fractali. Ele se bazează pe ideea că în loc de imaginea în sine, se poate stoca o hartă de compresie pentru care această imagine (sau una apropiată) este un punct fix. Una dintre variantele acestui algoritm a fost folosită de Microsoft atunci când și-a publicat enciclopedia, dar acești algoritmi nu au fost folosiți pe scară largă.

Grafică pe computer

Fractalii sunt folosiți pe scară largă în grafica computerizată pentru a construi imagini ale obiectelor naturale, cum ar fi copaci, tufișuri, peisaje montane, suprafețe ale mării și așa mai departe. Există multe programe disponibile pentru a genera imagini fractale.

Descentralizat retelelor

Sistemul de atribuire a adreselor IP din rețeaua Netsukuku (această rețea este un proiect pentru crearea unei rețele peer-to-peer distribuite, auto-organizată, capabilă să asigure interacțiunea unui număr mare de noduri cu încărcare minimă pe procesorul central și pe memorie) utilizează principiul compresiei informațiilor fractale pentru a stoca în mod compact informații despre nodurile rețelei. Fiecare nod din rețeaua Netsukuku stochează doar 4 KB de informații despre starea nodurilor învecinate, în timp ce orice nod nou se conectează la rețeaua comună fără a fi nevoie de o reglementare centrală a distribuției adreselor IP, ceea ce, de exemplu, este tipic pentru Internet. Astfel, principiul compresiei informațiilor fractale garantează o funcționare complet descentralizată și, prin urmare, cea mai stabilă a întregii rețele.

Economie și finanțe

A. A. Almazov în cartea sa „Teoria fractale. Cum să vă schimbați viziunea asupra piețelor” a sugerat o modalitate de a folosi fractalii atunci când analizați cotațiile bursiere, în special pe piața Forex.

De fiecare dată când te uiți la fractali, te gândești cât de frumoase sunt lumea reală și lumea matematicii și că matematica este într-adevăr un limbaj care poate descrie aproape tot ce există în Univers.

Bibliografie

1. Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. M.: „Institutul de Cercetări Informatice”, 2002. 656 p.

2. Morozov A.D. Introducere în teoria fractalilor. N. Novgorod: Editura Nijni Novgorod. Universitatea, 1999, 140 p.

3. Peitgen H.-O., Richter P. H. Frumusețea fractalilor. M.: „Mir”, 1993. - 176 p.

4. Tikhoplav V.Yu., Tikhoplav T.S. Armonia haosului sau realitatea fractală. Sankt Petersburg: Editura „Ves”, 2003. 340 p.

5. Feder E. Fractali. M: „Mir”, 1991. 254 p.

6. Schroeder M. Fractali, haos, legile puterii. Miniaturi din paradisul nesfârșit. Izhevsk: „RKhD”, 2001. 528 p.

Lista de site-uri despre fractali

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Postat pe Allbest.ru

Documente similare

Considerarea dimensiunii fractale ca una dintre caracteristicile unei suprafețe de inginerie. Descrierea fractalilor naturali. Măsurarea lungimii unei linii nenetede (întrerupte). Asemănarea și scalarea, auto-asemănarea și auto-afinitatea. Relația perimetru-zonă.

test, adaugat 23.12.2015


Istoria apariției teoriei fractalilor. Un fractal este o structură auto-similară a cărei imagine nu depinde de scară. Acesta este un model recursiv, din care fiecare parte repetă în dezvoltarea sa dezvoltarea întregului model ca întreg. Aplicarea practică a teoriei fractalilor.

lucrare stiintifica, adaugata 05.12.2010


Fractali clasici. Autoasemănarea. Fulgul de nea Koch. covor Sierpinski. sisteme L. Dinamica haotică. atractor Lorentz. Mandelbrot și Julia decorează. Aplicarea fractalilor în tehnologia computerelor.

lucrare curs, adaugat 26.05.2006


Caracteristicile unor patrulatere. Implementarea modelelor de situații geometrice în medii de geometrie dinamică. Caracteristici ale mediului dinamic „Geometrie vie”, caracteristici ale construcției modelelor de paralelogram, romb, dreptunghi și pătrate în el.

lucrare curs, adaugat 28.05.2013


Imagine geometrică a lumii și condițiile prealabile pentru apariția teoriei fractalilor. Elemente ale unui sistem L determinist: alfabet, cuvânt de inițializare și un set de reguli generatoare. Proprietăți fractale ale proceselor sociale: sinergetică și dinamică haotică.

lucrare de curs, adăugată 22.03.2014


Studierea manifestărilor legilor geometrice în natura vie și utilizarea lor în activitățile practice educaționale. Descrierea legilor geometrice și esența construcțiilor geometrice. Educația grafică și locul său în lumea modernă.

teză, adăugată 24.06.2010


Definirea conceptului de model, necesitatea aplicării lor în știință și viața de zi cu zi. Caracteristicile materialului și metodele ideale de modelare. Clasificarea modelelor matematice (deterministe, stocastice), etape ale procesului de construire a acestora.

rezumat, adăugat 20.08.2015


Un studiu al conceptelor de simetrie, proporționalitate, proporționalitate și uniformitate în aranjarea pieselor. Caracteristicile proprietăților simetrice ale figurilor geometrice. Descrieri ale rolului simetriei în arhitectură, natură și tehnologie, în rezolvarea problemelor logice.

prezentare, adaugat 12.06.2011


Istoria matematizării științei. Metode de bază de matematizare. Limitele și problemele matematizării. Problemele de aplicare a metodelor matematice în diverse științe sunt asociate cu matematica în sine (studiul matematic al modelelor), cu domeniul modelării.

rezumat, adăugat 24.05.2005


Conceptul și istoria studiului raportului de aur. Caracteristicile reflectării sale în matematică, natură, arhitectură și pictură. Ordinea și principiile construcției, structura și domeniile de aplicare practică a secțiunii de aur, justificarea matematică și sensul.