Ensimmäinen ja toinen ehto jäykän kappaleen tasapainolle. Kehojen tasapaino. I. Tiedon toistaminen ja päivittäminen

Statiikka.

Mekaniikan ala, joka tutkii mekaanisten järjestelmien tasapainoolosuhteita niihin kohdistuvien voimien ja momenttien vaikutuksesta.

Voimatasapaino.

Mekaaninen tasapaino, joka tunnetaan myös nimellä staattinen tasapaino, on levossa tai tasaisessa liikkeessä olevan kappaleen tila, jossa siihen vaikuttavien voimien ja momenttien summa on nolla

Tasapainoolosuhteet kiinteä.

Välttämättömiä ja riittäviä ehtoja vapaan jäykän kappaleen tasapainolle ovat kaikkien kehoon vaikuttavien ulkoisten voimien vektorisumman yhtäläisyys nollaan, ulkoisten voimien kaikkien momenttien summan yhtäläisyys mielivaltaiseen akseliin, kappaleen siirtoliikkeen alkunopeuden nolla ja pyörimisen alkukulmanopeuden nollan ehto.

Tasapainon tyypit.

Kehon tasapaino on vakaa, jos ulkoisten yhteyksien sallimiin pieniin poikkeamiin tasapainoasennosta syntyy järjestelmään voimia tai voimamomentteja, jotka pyrkivät palauttamaan kehon alkuperäiseen tilaan.

Kehon tasapaino on epävakaa, jos ainakin joidenkin pienten ulkoisten yhteyksien sallimien poikkeamien yhteydessä tasapainoasennosta syntyy järjestelmään voimia tai voimien momentteja, jotka pyrkivät edelleen poikkeamaan kehon alkutasapainotilasta.

Kehon tasapainoa kutsutaan välinpitämättömäksi, jos ulkoisten yhteyksien sallimiin pieniin poikkeamiin tasapainoasennosta syntyy voimia tai voimamomentteja, jotka pyrkivät palauttamaan kehon alkuperäiseen tilaan

Jäykän kappaleen painopiste.

Painovoiman keskipiste runko on piste, jonka suhteen järjestelmään vaikuttava kokonaispainovoima on nolla. Esimerkiksi järjestelmässä, joka koostuu kahdesta identtisestä massasta, jotka on yhdistetty joustamattomalla sauvalla ja jotka on sijoitettu epätasaiseen gravitaatiokenttään (esimerkiksi planeetalla), massakeskipiste on sauvan keskellä, kun taas järjestelmän painovoima siirtyy sauvan siihen päähän, joka on lähempänä planeettaa (koska massan paino P = m g riippuu gravitaatiokentän parametrista g), ja yleisesti ottaen sijaitsee jopa sauvan ulkopuolella.

Jatkuvassa yhdensuuntaisessa (tasaisessa) gravitaatiokentässä painopiste on aina sama kuin massakeskipiste. Siksi käytännössä nämä kaksi keskusta ovat melkein samat (koska ulkoista gravitaatiokenttää ei-avaruusongelmissa voidaan pitää vakiona kehon tilavuuden sisällä).

Samasta syystä massakeskipisteen ja painopisteen käsitteet osuvat yhteen, kun näitä termejä käytetään geometriassa, statiikassa ja vastaavissa aloissa, joissa sen soveltamista fysiikkaan verrattuna voidaan kutsua metaforiseksi ja joissa oletetaan implisiittisesti niiden vastaavuustilanne. (koska todellista gravitaatiokenttää ei ole ja on järkevää ottaa huomioon sen heterogeenisyys). Näissä sovelluksissa molemmat termit ovat perinteisesti synonyymejä, ja usein toinen on parempi yksinkertaisesti siksi, että se on vanhempi.

« Fysiikka - 10 luokka"

Muista, mitä voiman hetki on.
Missä olosuhteissa keho on levossa?

Jos kappale on levossa suhteessa valittuun vertailukehykseen, tämän kappaleen sanotaan olevan tasapainossa. Rakennukset, sillat, tukipalkit, koneenosat, kirja pöydällä ja monet muut kappaleet ovat levossa huolimatta siitä, että niihin kohdistuu voimia muista kappaleista. Tehtävä tutkia kappaleiden tasapainoolosuhteita on erittäin tärkeä käytännön merkitystä koneenrakennukseen, rakentamiseen, instrumenttien valmistukseen ja muille tekniikan aloille. Kaikki todelliset kappaleet muuttavat muotoaan ja kokoaan niihin kohdistuvien voimien vaikutuksesta tai, kuten sanotaan, deformoituvat.

Monissa käytännössä kohtaamissa tapauksissa kappaleiden muodonmuutokset niiden ollessa tasapainossa ovat merkityksettömiä. Näissä tapauksissa muodonmuutokset voidaan jättää huomiotta ja laskelmat voidaan tehdä runko huomioon ottaen aivan kovaa.

Lyhytyyden vuoksi kutsumme ehdottoman jäykkää runkoa kiinteä runko tai yksinkertaisesti kehon. Kiinteän kappaleen tasapainoolosuhteita tutkittuamme löydämme todellisten kappaleiden tasapainoolosuhteet tapauksissa, joissa niiden muodonmuutokset voidaan jättää huomiotta.

Muista ehdottoman jäykän kehon määritelmä.

Mekaniikan haaraa, jossa tutkitaan ehdottoman jäykkien kappaleiden tasapainoolosuhteita, kutsutaan staattinen.

Statiikassa huomioidaan kappaleiden koko ja muoto, jolloin ei vain voimien arvolla ole merkitystä, vaan myös niiden käyttöpisteiden sijainnilla.

Selvitetään ensin Newtonin lakeja käyttäen, missä olosuhteissa mikä tahansa kappale on tasapainossa. Tätä varten hajottakaamme henkisesti koko keho iso luku pieniä elementtejä, joista jokaista voidaan pitää materiaalina. Kuten tavallista, kutsumme muiden kappaleiden kehoon vaikuttavia voimia ulkoisiksi ja voimia, joiden kanssa kehon elementit ovat vuorovaikutuksessa sisäisiksi (kuva 7.1). Joten voima 1,2 on voima, joka vaikuttaa elementtiin 1 elementistä 2. Voima 2,1 vaikuttaa elementtiin 2 elementistä 1. Nämä ovat sisäisiä voimia; nämä sisältävät myös voimat 1.3 ja 3.1, 2.3 ja 3.2. On selvää, että sisäisten voimien geometrinen summa on nolla, koska Newtonin kolmannen lain mukaan

12 = -21, 23 = -32, 31 = -13 jne.

Statiikka - erikoistapaus dynamiikka, koska muut kappaleet, kun voimat vaikuttavat niihin, ovat liikkeen erikoistapaus ( = 0).

Yleensä jokaiseen elementtiin voi vaikuttaa useita ulkoisia voimia. Arvoilla 1, 2, 3 jne. ymmärrämme kaikki ulkoiset voimat, jotka vastaavasti kohdistetaan elementteihin 1, 2, 3, .... Samalla tavalla "1:llä, "2:lla, "3:lla jne. tarkoitamme elementeihin 2, 2, 3, ... vastaavasti kohdistettujen sisäisten voimien geometrista summaa (näitä voimia ei näytetä kuvassa), ts.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... jne.

Jos keho on levossa, jokaisen elementin kiihtyvyys on nolla. Siksi Newtonin toisen lain mukaan kaikkien elementtiin vaikuttavien voimien geometrinen summa on myös nolla. Siksi voimme kirjoittaa:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Jokainen näistä kolmesta yhtälöstä ilmaisee jäykän kappaleen tasapainotilan.

Ensimmäinen ehto jäykän kappaleen tasapainolle.

Selvitetään, mitkä ehdot kiinteään kappaleeseen kohdistuvien ulkoisten voimien on täytettävä, jotta se olisi tasapainossa. Tätä varten lisäämme yhtälöt (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

Tämän yhtälön ensimmäisissä suluissa kirjoitetaan kaikkien kehoon kohdistuvien ulkoisten voimien vektorisumma ja toisessa - kaikkien tämän kappaleen elementteihin vaikuttavien sisäisten voimien vektorisumma. Mutta kuten tiedetään, järjestelmän kaikkien sisäisten voimien vektorisumma on nolla, koska Newtonin kolmannen lain mukaan mikä tahansa sisäinen voima vastaa voimaa, joka on sen suuruinen ja vastakkainen. Siksi viimeisen yhtälön vasemmalle puolelle jää vain kehoon kohdistettujen ulkoisten voimien geometrinen summa:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

Täysin jäykän kappaleen tapauksessa kutsutaan ehtoa (7.2). ensimmäinen ehto sen tasapainolle.

Se on välttämätöntä, mutta ei riittävää.

Joten jos jäykkä kappale on tasapainossa, siihen kohdistuvien ulkoisten voimien geometrinen summa on yhtä suuri kuin nolla.

Jos ulkoisten voimien summa on nolla, niin näiden voimien projektioiden summa koordinaattiakseleille on myös nolla. Erityisesti ulkoisten voimien projektioille OX-akselilla voimme kirjoittaa:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Samat yhtälöt voidaan kirjoittaa voimien projektioille OY- ja OZ-akseleille.

Toinen ehto jäykän kappaleen tasapainolle.

Varmistetaan, että ehto (7.2) on välttämätön, mutta ei riittävä jäykän kappaleen tasapainolle. Kohdistetaan kaksi samansuuruista ja vastakkaisesti suunnattua voimaa pöydällä makaavaan lautaan eri kohdissa, kuten kuvassa 7.2. Näiden voimien summa on nolla:

+ (-) = 0. Mutta lauta pyörii silti. Samalla tavalla kaksi samansuuruista ja vastakkaiseen suuntaan olevaa voimaa kääntävät polkupyörän tai auton ohjauspyörää (kuva 7.3).

Minkä muun ehdon ulkoisille voimille sen lisäksi, että niiden summa on nolla, täytyy täyttyä, jotta jäykkä kappale olisi tasapainossa? Käytetään kineettisen energian muutosta koskevaa lausetta.

Etsitään esimerkiksi vaaka-akselin ympäri pisteessä O saranoidun tangon tasapainotila (kuva 7.4). Tämä yksinkertainen laite, kuten tiedät peruskoulun fysiikan kurssista, on ensiluokkainen vipu.

Kohdistetaan voimat 1 ja 2 vipuun kohtisuorassa tankoon nähden.

Voimien 1 ja 2 lisäksi vipuun vaikuttaa pystysuoraan ylöspäin suuntautuva normaali reaktiovoima 3 vivun akselin puolelta. Kun vipu on tasapainossa, kaikkien kolmen voiman summa on nolla: 1 + 2 + 3 = 0.

Lasketaan ulkoisten voimien työ, kun vipua käännetään hyvin pienen kulman α läpi. Voimien 1 ja 2 kohdistamispisteet kulkevat polkuja s 1 = BB 1 ja s 2 = CC 1 pitkin (pienissä kulmissa α olevia kaaria BB 1 ja CC 1 voidaan pitää suorina segmenteinä). Voiman 1 työ A 1 = F 1 s 1 on positiivinen, koska piste B liikkuu voiman suuntaan ja voiman 2 työ A 2 = -F 2 s 2 on negatiivinen, koska piste C liikkuu suuntaan päinvastoin kuin voiman suunta 2. Voima 3 ei tee mitään työtä, koska sen sovelluskohta ei liiku.

Kuljetut polut s 1 ja s 2 voidaan ilmaista vivun a kiertokulmana radiaaneina mitattuna: s 1 = α|VO| ja s2 = α|СО|. Tämän huomioon ottaen kirjoitetaan työn lausekkeet uudelleen seuraavasti:

A 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
A2 = -F2a|CO|.

Voimien 1 ja 2 kohdistamispisteiden kuvaamien ympyränkaarien säteet BO ja СО ovat kohtisuorat, jotka on laskettu pyörimisakselista näiden voimien toimintalinjalla

Kuten jo tiedät, voiman käsivarsi on lyhin etäisyys pyörimisakselista voiman toimintalinjaan. Merkitsemme voimavartta kirjaimella d. Sitten |VO| = d 1 - voiman käsivarsi 1 ja |СО| = d 2 - voiman käsivarsi 2. Tässä tapauksessa lausekkeet (7.4) saavat muodon

A 1 = F 1 αd 1, A 2 = -F 2 αd 2. (7.5)

Kaavoista (7.5) käy selvästi ilmi, että kunkin voiman työ on yhtä suuri kuin voimamomentin ja vivun kiertokulman tulo. Näin ollen työn lausekkeet (7.5) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

A 1 = M 1 α, A 2 = M 2 α, (7.6)

ja ulkoisten voimien kokonaistyö voidaan ilmaista kaavalla

A = A1 + A2 = (M1 + M2)a. α, (7.7)

Koska voimamomentti 1 on positiivinen ja yhtä suuri kuin M 1 = F 1 d 1 (katso kuva 7.4), ja voimamomentti 2 on negatiivinen ja yhtä suuri kuin M 2 = -F 2 d 2, niin työlle A me osaa kirjoittaa lausekkeen

A = (M1 - |M2 |)α.

Kun keho alkaa liikkua, sen liike-energia kasvaa. Kineettisen energian lisäämiseksi ulkoisten voimien on tehtävä työtä, eli tässä tapauksessa A ≠ 0 ja vastaavasti M 1 + M 2 ≠ 0.

Jos ulkoisten voimien työ on nolla, niin kehon liike-energia ei muutu (pysyy nollaksi) ja keho pysyy liikkumattomana. Sitten

M1 + M2 = 0. (7.8)

Yhtälö (7 8) on toinen ehto jäykän kappaleen tasapainolle.

Kun jäykkä kappale on tasapainossa, kaikkien siihen vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien summa minkä tahansa akselin suhteen on nolla.

Eli siinä tapauksessa mikä tahansa numero ulkoisten voimien vuoksi ehdottoman jäykän kappaleen tasapainoolosuhteet ovat seuraavat:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Toinen tasapainoehto voidaan johtaa jäykän kappaleen pyörimisliikkeen dynamiikan perusyhtälöstä. Tämän yhtälön mukaan missä M on kehoon vaikuttavien voimien kokonaismomentti, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε - kulmakiihtyvyyttä. Jos jäykkä kappale on liikkumaton, niin ε = 0 ja siten M = 0. Siten toinen tasapainoehto on muotoa M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Jos kappale ei ole ehdottoman kiinteä, niin siihen kohdistuvien ulkoisten voimien vaikutuksesta se ei välttämättä pysy tasapainossa, vaikka ulkoisten voimien summa ja niiden momenttien summa suhteessa mihin tahansa akseliin ovat nolla.

Kohdistetaan esimerkiksi kaksi voimaa kuminauhan päihin, jotka ovat suuruudeltaan yhtä suuria ja jotka on suunnattu nauhaa pitkin vastakkaisiin suuntiin. Näiden voimien vaikutuksesta naru ei ole tasapainossa (köysi venytetään), vaikka ulkoisten voimien summa on nolla ja niiden momenttien summa suhteessa akselin minkä tahansa pisteen läpi kulkevaan akseliin on yhtä suuri. nollaan.

Kappale on levossa (tai liikkuu tasaisesti ja suoraviivaisesti), jos kaikkien siihen vaikuttavien voimien vektorisumma on nolla. Sanotaan, että voimat tasapainottavat toisiaan. Kun kyseessä on tietyn geometrisen muodon omaava kappale, tuloksena olevaa voimaa laskettaessa kaikki voimat voidaan kohdistaa kappaleen massakeskipisteeseen.

Kehojen tasapainon ehto

Jotta kappale, joka ei pyöri, olisi tasapainossa, on välttämätöntä, että kaikkien siihen vaikuttavien voimien resultantti on nolla.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + Fn → = 0.

Yllä oleva kuva esittää jäykän kappaleen tasapainoa. Lohko on tasapainotilassa kolmen siihen vaikuttavan voiman vaikutuksesta. Voimien F 1 → ja F 2 → toimintalinjat leikkaavat pisteessä O. Painovoiman kohdistamispiste on kappaleen C massakeskus. Nämä pisteet sijaitsevat samalla suoralla, ja laskettaessa resultanttivoimaa F 1 →, F 2 → ja m g → tuodaan pisteeseen C.

Edellytys, että kaikkien voimien resultantti on yhtä suuri kuin nolla, ei riitä, jos kappale voi pyöriä tietyn akselin ympäri.

Voiman käsivarsi d on kohtisuoran pituus, joka on vedetty voiman vaikutuslinjasta sen kohdistamispisteeseen. Voiman momentti M on voimavarren ja sen moduulin tulo.

Voimamomentti pyrkii pyörittämään kehoa akselinsa ympäri. Ne hetket, jotka kääntävät kehoa vastapäivään, katsotaan positiivisiksi. Voiman momentin mittayksikkö in kansainvälinen järjestelmä SI - 1 newtonmetri.

Määritelmä. Hetkien sääntö

Jos kaikkien kappaleeseen kohdistettujen momenttien algebrallinen summa suhteessa kiinteään pyörimisakseliin on yhtä suuri kuin nolla, niin kappale on tasapainotilassa.

M1 + M2+. . +Mn=0

Tärkeä!

Yleisessä tapauksessa, jotta kappaleet olisivat tasapainossa, kahden edellytyksen on täytyttävä: resultanttivoiman on oltava yhtä suuri kuin nolla ja momentin sääntöä on noudatettava.

Mekaniikassa on erilaisia ​​tasapainotyyppejä. Näin ollen tehdään ero vakaan ja epävakaan sekä välinpitämättömän tasapainon välillä.

Tyypillinen esimerkki välinpitämättömästä tasapainosta on vierivä pyörä (tai pallo), joka pysähtyy missä tahansa pisteessä on tasapainotilassa.

Stabiili tasapaino on sellainen kehon tasapainotila, jossa sen pienillä poikkeamilla syntyy voimia tai voimien momentteja, jotka pyrkivät palauttamaan kehon tasapainotilaan.

Epävakaa tasapaino on tasapainotila, jossa on pieni poikkeama, josta voimilla ja voimien momenteilla on taipumus saada keho vielä enemmän pois tasapainosta.

Yllä olevassa kuvassa pallon sijainti on (1) - välinpitämätön tasapaino, (2) - epävakaa tasapaino, (3) - stabiili tasapaino.

Kiinteällä pyörimisakselilla varustettu kappale voi olla missä tahansa kuvatuista tasapainoasennoista. Jos pyörimisakseli kulkee massakeskuksen läpi, syntyy välinpitämättömyyden tasapaino. Vakaassa ja epävakaassa tasapainossa massakeskipiste sijaitsee pystysuoralla suoralla, joka kulkee pyörimisakselin läpi. Kun massakeskipiste on pyörimisakselin alapuolella, tasapaino on vakaa. Muuten asia on toisin päin.

Tasapainon erikoistapaus on kehon tasapaino tuella. Tässä tapauksessa kimmovoima jakautuu koko kehon pohjalle sen sijaan, että se kulkee yhden pisteen läpi. Keho on levossa tasapainossa, kun massakeskipisteen läpi vedetty pystysuora viiva leikkaa tukialueen. Muuten, jos massakeskipisteestä tuleva viiva ei putoa tukipisteitä yhdistävien viivojen muodostamaan ääriviivaan, runko kaatuu.

Esimerkki kehon tasapainosta tuella on kuuluisa Pisan kalteva torni. Legendan mukaan Galileo Galilei pudotti siitä palloja, kun hän suoritti kokeitaan tutkiessaan ruumiiden vapaata pudotusta.

Tornin massakeskipisteestä vedetty viiva leikkaa pohjan noin 2,3 m sen keskustasta.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

MÄÄRITELMÄ

Vakaa tasapaino- tämä on tasapaino, jossa tasapainoasennosta irrotettu ja itselleen jätetty keho palaa edelliseen asentoonsa.

Tämä tapahtuu, jos kappaletta hieman siirrettäessä mihin tahansa suuntaan alkuperäisestä asennosta, kehoon vaikuttavien voimien resultantti tulee nollasta poikkeavaksi ja suuntautuu tasapainoasentoon. Esimerkiksi pallo, joka makaa pallomaisen syvennyksen pohjalla (kuva 1 a).

MÄÄRITELMÄ

Epävakaa tasapaino- tämä on tasapaino, jossa tasapainoasennosta pois otettu ja itselleen jätetty kappale poikkeaa vielä enemmän tasapainoasennosta.

Tässä tapauksessa, kun kehoa siirretään hieman tasapainoasennosta, siihen kohdistettujen voimien resultantti on nollasta poikkeava ja suunnattu tasapainoasennosta. Esimerkki on kuperan pallomaisen pinnan yläpisteessä oleva pallo (kuva 1 b).

MÄÄRITELMÄ

Välinpitämätön tasapaino- tämä on tasapainotila, jossa tasapainoasennosta pois otettu ja omiin omiin käsiin jätetty kappale ei muuta asemaansa (tilaa).

Tässä tapauksessa kehon pienillä siirtymillä alkuperäisestä asennosta kehoon kohdistettujen voimien resultantti pysyy nollana. Esimerkiksi tasaisella pinnalla makaava pallo (kuva 1c).

Kuva 1. Erilaisia ​​kehon tasapainoa tuella: a) vakaa tasapaino; b) epävakaa tasapaino; c) välinpitämätön tasapaino.

Kehojen staattinen ja dynaaminen tasapaino

Jos keho ei voimien toiminnan seurauksena saa kiihtyvyyttä, se voi olla levossa tai liikkua tasaisesti suorassa linjassa. Siksi voimme puhua staattisesta ja dynaamisesta tasapainosta.

MÄÄRITELMÄ

Staattinen tasapaino- Tämä on tasapaino, kun keho on levossa käytettyjen voimien vaikutuksesta.

Dynaaminen tasapaino- Tämä on tasapainotila, jossa keho ei muuta liikettään voimien vaikutuksesta.

Kaapeleihin ripustettu lyhty tai mikä tahansa rakennusrakenne on staattisen tasapainon tilassa. Esimerkkinä dynaamisesta tasapainosta harkitse pyörää, joka rullaa tasaisella pinnalla ilman kitkavoimia.