Формула механической мощности. Механическая работа: определение и формула Примеры вычисления работ различных сил
Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией , необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.
Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.
Угол между вектором силы и перемещением
1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.
На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.
Работа силы тяжести
Работа реакции опоры
Работа силы трения
Работа силы натяжения веревки
Работа равнодействующей силы
Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ - как сумму работ (с учетом знаков "+" или "-") всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ - в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок
Работа силы упругости
Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.
Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу
Мощность
Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением , которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле
Коэффициент полезного действия
КПД - это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время
Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.
КПД наклонной плоскости - это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.
Главное запомнить
1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения
Если работа силы при перемещении тела по замкнутому пути равна нулю, то такие силы называют консервативными или потенциальными . Работа силы трения при перемещении тела по замкнутому пути никогда не равна нулю. Сила трения в отличие от силы тяжести или силы упругости является неконсервативной или непотенциальной .
Есть условия, при которых нельзя использовать формулу 
Если сила является переменной, если траектория движения является кривой линией. В этом случае путь разбивается на малые участки, для которых эти условия выполняются, и подсчитать элементарные работы на каждом из этих участков. Полная работа в этом случае равна алгебраической сумме элементарных работ:
Значение работы некоторой силы зависит от выбора системы отсчета.
Известную формулу из физики A = Fs для определения работы силы можно использовать лишь тогда, когда на тело воздействует постоянная сила, направленная по направлению движения. Однако часто требуется определить работу тогда, когда сила изменяется с пройденным путём. Например, чтобы растянуть пружину, нужно приложить силу, которая пропорциональна пройденному пути - удлиннению пружины.
Пусть тело перемещается по отрезку [a , b ] оси Ox , при этом проекция вектора силы на ось Ox является функцией F (x ) аргумента x . Чтобы определить работу, совершённую силой, разделим отрезок [a , b ] на n частей точками a = x 0 < x 1 < x 2 < ...x n = b . Таким образом, всё перемещение тела из a в b состоит из n участков пути.
Приложенная сила A будет равна сумме элементарных работ, совершённых при перемещении тела по каждому из участков пути.
Пример 1. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F . Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила в 1 кг.
Решение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью F =kS , где k - постоянная. Будем выражать S в метрах, F - в килограммах. При S =0,01 F =1, то есть 1=k *0,01, откуда k =100, F =100S .
По формуле (1) определяем работу силы:
Пример 2. Сила F , с которой электрический заряд e 1 отталкивает заряд e 2 (того же знака), находящийся от него на расстоянии r , выражается формулой
где k - постоянная.
Вычислить работу силы F при перемещении заряда e 2 из точки A 1 , отстоящей от e 1 на расстоянии r 1 , в точку A 2 , отстоящую от e 1 на расстоянии r 2 , полагая, что заряд e 1 помещён в точке A 0 , принятой за начала отсчёта.
Решение. По формуле (1) вычисляем работу силы:
.
При получим
.
При получим . Последняя величина называется потенциалом поля, создаваемого зарядом e 1 .
Пример 3. Вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить шарик массой 9 г из бочки, высота которой 3 м.
Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.
1. Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения в положение Выберем координатные оси так, чтобы ось была направлена вертикально вверх (рис. 231). Тогда . Подставляя эти значения в формулу (44), получим, учитывая, что переменным интегрирования является :
Если точка выше , то , где h - вертикальное перемещение точки; если же точка ниже точки то .
Окончательно получаем
Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.
Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными (см. § 126).
2. Работа силы упругости. Рассмотрим груз М, лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис. 232, а). На плоскости отметим точкой О положение, занимаемое концом пружины, когда она не напряжена - длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О, растянув пружину до величины I, то пружина получит удлинение и на груз будет действовать сила упругости F, направленная к точке О. Так как в нашем случае то по формуле (6) из § 76
Последнее равенство справедливо и при (груз левее точки О); тогда сила F направлена вправо и получится, как и должно быть,
Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения в положение
Так как в данном случае то, подставляя эти значения в формулу (44), найдем
(Этот же результат можно получить по графику зависимости F от (рис. 232, б), вычисляя площадь а заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле представляет собой начальное удлинение пружины - конечное удлинение пружины Следовательно,
т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа будет положительной, когда т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда т. е. когда конец пружины удаляется от равновесного положения.
Можно доказать, что формула (48) остается справедливой и в случае, когда перемещение точки М не является прямолинейным. Таким образом, оказывается, что работа силы F зависит только от значений и и не зависит от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости также является потенциальной.
3. Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 233) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю где f - коэффициент трения, а N - нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, и по формуле (44)
Если численно сила трения постоянна, то где s - длина дуги кривой , по которой перемещается точка.
Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Так как эта работа зависит от длины дуги то, следовательно, сила трения является силой непотенциальной.
4. Работа силы тяготения Если Землю (планету) рассматривать как однородный шар (или шар, состоящий из однородных концентрических слоев), то на точку М с массой , находящуюся вне шара на расстоянии от его центра О (или находящуюся на поверхности шара), будет действовать сила тяготения F, направленная к центру О (рис. 234), значение которой определяется формулой (5) из § 76. Представим эту формулу в виде
н определим коэффициент k из того условия, что, когда точка находится на поверхности Земли (r = R, где R - радиус Земли), сила притяжеиия равна mg, где g - ускорение силы тяжести (точнее силы тяютения) на земной поверхности. Тогда должно быть
Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. Связь между напряженностью и потенциалом. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов.
4. 1. Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. 4. 2. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. 4. 3. Связь между напряженностью и потенциалом. 4. 4. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов.
4. 1. Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. Пусть имеется точечный положительный заряд. Рассчитаем работу по перемещению из точки 1 в точку 2. Рис. 4. 1. Перемещение точечного положительного заряди из точки 1 в точку 2.
(4. 1) Вывод: работа по перемещению заряда из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек траектории. К оглавлению
4. 2. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. может служить характеристикой поля. Т. к. при функциональная часть выражения (4. 2) , то примем const = 0. Получим (4. 3) Эта величина получила название потенциал поля точечного заряда. (4. 4) (4. 5)
Потенциалом поля в данной точке называется физическая величина, численно равная работе по переносу единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Работа сил электростатического поля равна убыли потенциальной энергии, т. е. (4. 6) (4. 7) Тогда, сравнив (4. 4) и (4. 6), получим Т. к. при (4. 8) , то Потенциалом поля в данной точке называется физическая величина, численно равная потенциальной энергии, которая приобретается единичным положительным зарядом при переносе из бесконечности в данную точку поля. Выясним свойства потенциального электростатического поля. (4. 9) Рис. 4. 2.
1. Работа по переносу из одной точки электрического поля в другую не зависит от формы траектории. (4. 10) 2. Работа по переносу заряда вдоль замкнутого пути равна нулю. 1 и 2 отражают потенциальный характер поля. 3. В электрическом поле циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна нулю.
Эквипотенциальные поверхности. Приставка экви- означает равный. Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, состоящая из точек, имеющих одинаковый потенциал. Для геометрического описания электрического поля наряду с силовыми линиями используют и эквипотенциальные поверхности. 1. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Рис. 4. 3. Эквипотенциальные поверхности 2. Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Опыт 4. 1. Демонстрация эквипотенциальных поверхностей. Цель: Демонстрация эквипотенциальных поверхностей. Оборудование: 1. Электрометр демонстрационный. 2. Конусообразный кондуктор на изолирующем штативе. 3. Эбонитовая палочка. 4. Шерсть. 5. Шарик пробный на изолирующей ручке. 6. Два проводника: один – длиной 1, 5 - 2 м гибкий, другой – для заземления электрометра. Рис. 4. 4. Установка Ход работы: Пробный шарик с длинным проводником соединён со стержнем электроскопа, корпус заземлён. Заряжаем кондуктор и шарик перемещаем по всей поверхности (наружной и внутренней) кондуктора. Показания электрометра не меняются. Выводы: поверхность заряженного проводника всюду имеет одинаковый потенциал. К оглавлению
4. 3. Связь между напряженностью и потенциалом. Пусть имеется векторное поле и некоторое скалярное поле (4. 11) Известно, что между напряженностью и потенциалом электростатического поля существует связь: (4. 12) К оглавлению
4. 4. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов. Однородный плоский конденсатор. (4. 13) Рис. 4. 4. Однородный плоский конденсатор Задание для самостоятельной работы. Используя материал лекций 3 и 4 вывести формулы, описывающие потенциал поля заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов. К оглавлению
Для цилиндрического конденсатора мы знаем что найдем разность потенциалов между обкладками конденсатора путем интегрирования Если зазор между обкладками относительный, т. е. выполняется условие в этом случае Рис. 4. 5
Для сферического конденсатора Рис. 4. 6 Для заряженной нити, где R – толщина нити Рис. 4. 7
Работа силы в общем случае зависит от характера движения точки приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать движение этой точки. Но в природе имеются силы и примеры движения, для которых работу можно вычислить сравнительно просто, зная начальное и конечное положение точки.
Работа силы тяжести. Силу тяжести материальной точки массой вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной , направленной по вертикали вниз. Если взять оси координат , где ось направлена по вертикали вверх, то
где – высота опускания точки.
При подъеме точки высота является отрицательной. Следовательно, в общем случае работа силы тяжести равна
Если имеем систему материальных точек, то для каждой точки с массой будем иметь работу ее силы тяжести
,
где – начальная и конечная координаты точки.
Работа всех сил тяжести системы материальных точек
где – масса системы точек; и – начальная и конечная координаты центра масс системы точек. Вводя обозначение для изменения высоты центра масс 
, имеем
Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука:
где – расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки ; – постоянный коэффициент жесткости.
. (191)
По этой формуле вычисляют работу линейной силы упругости пружины при перемещении по любому пути из точки , в которой ее удлинение (начальная деформация) равно , в точку , где деформация соответственно равна . В новых обозначениях (191) принимает вид
. (191")
Работа силы, приложенной к твердому телу . Получим формулы для вычисления элементарной и полной работы силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, которое совершает то или иное движение. Сначала рассмотрим поступательное и вращательное движения тела, а затем общий случай движения твердого тела.
При поступательном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению скорости. Следовательно, если сила приложена к точке , то, так как ,
где – радиус-вектор произвольной точки твердого тела. На каком-либо перемещении полная работа
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки можно вычислить по векторной формуле Эйлера:
тогда элементарную работу силы определим по формуле
. (194)
Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.
Полная работа
. (195)
В частном случае, если момент силы относительно оси вращения является постоянным, т. е. 
, работу определяют по формуле
Используя определение мощности силы
. (197)
Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения тела.
Для свободного тела в общем случае движения скорость точки , в которой приложена сила ,
следовательно,
Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.
В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, выбрав эту точку за полюс , для элементарной работы имеем
. (199)
Поворот на угол следует рассматривать в каждый момент времени вокруг своей мгновенной оси вращения.
Работа внутренних сил твердого тела. Для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении.
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия точки и системы . Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости , т.е. или , так как скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля этого вектора. Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной.
Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы , т. е.
. (200)
Кинетическая энергия как точки, так и сие темы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может быть равна нулю для системы только при условии, если все точки системы находятся в покое.
Вычисление кинетической энергии системы (теорема Кёнига): Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс:
, (201)
где 
.
Величина – кинетическая энергия относительного движения системы относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с ее центром масс, или кинетическая энергией системы относительно центра масс.
Кинетическая энергия твердого тела . При поступательном движении твердого тела
, (202)
так как при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела одинаковы, т. е. , где – общая скорость для всех точек тела.
Загрузка...
